Una pista para calcular la integral $\int^1_0 \frac{\log x}{1-x}dx$

Question

Estoy luchando para tratar de resolver la integral. ¿Podría ayudarme? Por favor, no resuelvan el problema, den algunas pistas de lo que debo hacer.
$$\int^1_0 \frac{\log x}{1-x}dx$$

Answer 1

Dado que el rango de la integral es de $0$ a $1$ puede utilizar la serie geométrica

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{k = 0}^{+\infty} x^k$$

Por lo tanto,

$$ \sum_{k = 0}^{+\infty} \int_0^1 x^k\ln(x)\ dx$$

La integral es bastante estándar, se puede hacer por partes muchas veces o de otras maneras. Finalmente

$$\int x^k\ln(x)\ dx = \frac{x^{k+1} ((k+1) \log (x)-1)}{(k+1)^2}$$

por lo que

$$\int_0^1 x^k\ln(x) = -\frac{1}{(k+1)^2}$$

Esto es válido para $\Re(k) > -1$ lo cual es cierto.

Entonces, todos juntos

$$- \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)^2} = -\zeta(2) = -\frac{\pi^2}{6}$$

Answer 2

Se trata de una integral de función no elemental. En concreto, mediante una simple sustitución de $u=1-x \to du = -dx$ , obtenemos la conocida integral de la función especial :

$$\int \frac{\ln x}{1-x}\mathrm{d}x=-\int\frac{\ln(1-u)}{u}\mathrm{d}u = \dots = \text{Li}_2(1-x) + C$$

Por lo tanto, tenemos que encontrar otra manera de trabajar en torno a ella.

Para un enfoque analítico, continuando la idea de Jack (créditos) :

$$\int x^n\ln(x)\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}\ln(x)}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int x^n\mathrm{d}x= \frac{x^{n+1}\big[(n+1)\ln(x)-1\big]}{(n+1)^2} + C$$

para lo cual utilizamos la integración por partes como :

$$\int f\mathrm{d}g = fg - \int g\mathrm{d}f$$

$$\mathrm{d}f = \frac{1}{x}\mathrm{d}x$$ $$g=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Ahora, explotando la conocida serie geométrica :

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{k = 0}^{\infty} x^k$$

nos llevará a la expresión para nuestro cálculo, de :

$$\sum_{n = 0}^{\infty} \int_0^1 x^n\ln(x)\ dx \to \int_0^1 x^n\ln(x)= -\frac{1}{(n+1)^2} \space \text{for} \space \Re\{n\} > -1$$

que finalmente lleva al cálculo mediante el uso de la Función Zeta :

$$- \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = -\zeta(2) = -\frac{\pi^2}{6}$$

Verdaderamente, nuestros cálculos son correctos, ya que :

$$\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}\mathrm{d}x = \text{Li}_2(0) - \text{Li}_2(1) = - \frac{\pi^2}{6}$$

Alternativamente, si no está familiarizado con este procedimiento, el mejor resultado posible vendrá a través del análisis numérico, utilizando La regla de Simpson por ejemplo :

$$\int_0^1 \frac{\ln(x)}{1-x}\mathrm{d}x \approx \frac{1-0}{6}\bigg(f(0) + + 4f\bigg(\frac{1}{2}\bigg) + f(1)\bigg), \space \text{where} \space f(x) = \frac{\ln(x)}{1-x}$$

Answer 3

Cosas para probar:

• Hacer el cambio de variable $x \mapsto 1-x$ . Esto simplifica el denominador, deja el intervalo de integración sin cambios (no importante pero a veces es útil, sobre todo si una combinación lineal de los integrados originales y nuevos se simplifica), y hace que el numerador sea algo cuya serie de Taylor debes conocer.
• Intenta la integración por partes para poder diferenciar el logaritmo, convirtiéndolo en una función racional. (Estoy bastante seguro de que esto no sirve para este problema, pero está en la constelación de cosas que hay que hacer a las integrales que se parecen a esta).
• Intenta resolver la ecuación diferencial $f'(x) = \frac{\log x}{1-x}$ que puede convertirse en una recurrencia relativamente sencilla para los coeficientes de Taylor.
• Búscalo en las tablas. Por ejemplo, en Gradshteyn & Ryzhik, 7ª edición, es 4.231.2.