Demostrando que $\|A\|_{\infty}$ la mayor suma de filas del valor absoluto de la matriz $A$

Question

Estoy estudiando las normas matriciales. He leído que $\|A\|_{\infty}$ es la mayor suma de filas de valor absoluto y $\|A\|_{1}$ es la mayor suma de columnas de valores absolutos de la matriz $A$ . Sin embargo, no soy capaz de demostrarlo. ¿Hay alguna prueba de estas afirmaciones? Por favor, ayúdenme y gracias por su tiempo.

Editar: Donde $\|A\|_{\infty}$ es la norma matricial inducida por la norma vectorial $\|x\|_{\infty}$ .

Answer 1

Supongo que el autor intenta derivar las normas matriciales $\|A\|_1$ y $\|A\|_\infty$ inducido por normas vectoriales $\|x\|_1$ y $\|x\|_\infty$ .

Tomemos, por ejemplo, $\|\cdot\|_\infty$ . Escribimos

$$\|Ax\|_\infty=\sup_i \left|\sum_j A_{ij}x_j\right|\le \sup_i \sum_j |A_{ij}||x_j|\le \sup_j |x_j| \sup_i \sum_j |A_{ij}|.$$ Por lo tanto, un buen candidato para $\|A\|_\infty$ es $\sup_i \sum_j |A_{ij}|$ . Tenemos que demostrar que este límite se cumple efectivamente; es cierto, ya que podemos tomar $i$ donde se alcanza ese supremum y se impone $x_j=\mathrm{sign}(A_{ij})$ . Con tal $x$ todas nuestras desigualdades degeneran en igualdades y concluimos que $\|A\|_\infty = \sup_i \sum_j |A_{ij}|$ es una norma matricial inducida por $\|x\|_\infty = \sup_j |x_j|$ .

El caso $\|\cdot\|_1$ se hace lo mismo.

Answer 2

Le daré entonces algunas pautas. Supongamos que un $m$ -por- $n$ matriz $A = (a_{ij})$ se da. Para cualquier $n$ -vector de dimensiones $x$ ,

\begin{align*} \|Ax\|_1 & = \sum_{i=1}^m \left|\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\right| \\ & \le \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left|a_{ij}x_j\right| \\ & = \sum_{j=1}^n \left|x_j\right| \sum_{i=1}^m \left|a_{ij}\right| \\ & = \sum_{j=1}^n \left|x_j\right| A_j \end{align*} donde defino $A_j = \sum_{i=1}^m \left|a_{ij}\right|$ . Si $J = \operatorname{argmax}_j A_j$ , es decir , $A_J$ es un máximo entre todos los $A_j$ 's, entonces $$ \|Ax\|_1 \le A_J \sum_{j=1}^n |x_j| = A_J \|x\|_1. $$ Esto demuestra que $\|A\|_1 \le A_J$ . A continuación, se demuestra que existe $x$ tal que $\|Ax\|_1 = A_J\|x\|_1$ . Esto es bastante sencillo, ya que puede elegir $x_i = 0$ para todos $i \ne J$ y $x_J = 1$ o $-1$ .

Para el caso de $\|\cdot\|_\infty$ la situación es bastante similar. (Elección $x$ en el último paso puede ser un poco complicado ya que hay que elegir los signos correctos). Te lo dejo a ti.