Dejemos que $\Gamma \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ sea un subgrupo aritmético, y $S_{2k}(\Gamma)$ el espacio de las formas cúspides holomorfas de peso $2k$ para $\Gamma$ .
Dejemos que $\rho_1: \Gamma \rightarrow V_1$ sea la representación estándar de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ restringido a $\Gamma$ y $\rho_k: \Gamma \rightarrow V_k$ su $k$ de la potencia simétrica. Shimura, en el artículo seminal de 1959 " Sobre las integrales adjuntas a las formas automórficas ", completó el trabajo de Eichler demostrando que un determinado mapa $$ S_{2k+2}(\Gamma) \rightarrow H^1_{\mathrm{cusp}}(\mathbb{R}[\Gamma],V_{2k}),\ \ \ f \mapsto [c_f]$$ es un isomorfismo de espacios vectoriales reales. El codominio es (esencialmente) clases de cohomología de grupos en $H^1(\mathbb{R}[\Gamma],V_{2k})$ que son triviales cuando se restringen a los estabilizadores de las cúspides de $\Gamma$ . El mapa viene dado por $$ c_f(\gamma) = \int_{z_0}^{\gamma z_0} \mathrm{Re}(\omega_{2k}),$$ donde $z_0\in \mathfrak{H}$ es arbitraria, y $$ \omega_n = \left(\begin{array}{c}f(z)dz\\ f(z)zdz\\ \vdots \\ f(z)z^{n}dz\end{array}\right).$$
Desde $\Gamma$ está generada finitamente y $V_{2k}$ finito dimensional, después de elegir los generadores y un $\Gamma$ -retículo estable $L_{2k}\subset V_{2k}$ se puede definir una versión integral $H^1_{\mathrm{cusp}}(\mathbb{Z}[\Gamma],L_{2k})$ del grupo de cohomología, que resulta formar una red de rango completo en $H^1_{\mathrm{cusp}}(\mathbb{R}[\Gamma],V_{2k})$ . Por lo tanto, a través del isomorfismo, se obtiene una red $D_{2k}(\Gamma)\subset S_{2k}(\Gamma)$ . Es independiente de las elecciones hasta la isogenia, dotando $S_{2k}(\Gamma)$ con una estructura racional canónica.
De ello se derivan varias consecuencias notables, la más conocida de las cuales es que los valores propios de los operadores de Hecke que estabilizan $D_{2k}(\Gamma)$ son enteros algebraicos. Sin embargo, el resultado principal es el siguiente.
Teorema (Shimura, 1959): El toro complejo $$ A_{2k}(\Gamma) = S_{2k}(\Gamma)/D_{2k}(\Gamma)$$ es un variedad abeliana . Además, existe un homomorfismo de anillo $$ H_k \hookrightarrow \mathrm{End}(A_{2k}(\Gamma)),$$ para un álgebra de Hecke adecuada $H_k$ .
La forma de Riemann en $D_{2k}(\Gamma)$ se obtiene modificando el producto interior de Peterson para obtener una forma alterna de valor real, y luego comprobando que toma valores racionales en $D_{2k}(\Gamma)$ .
En el caso del peso dos, como es bien sabido, $A_2(\Gamma)$ coincide con el jacobiano de la curva modular $X(\Gamma)$ y, por lo tanto, se define sobre $\mathbb{Q}$ . Shimura señala que $A_4(\Gamma(3))$ es una curva elíptica CM (por tanto, definida sobre un campo numérico), entonces hace la siguiente observación:
Más generalmente, sea cual sea el subgrupo $\Gamma$ de $\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})$ y aunque no haya multiplicaciones complejas, se puede pensar que existe una relación profunda entre la aritmética des séries de Dirichlet attachées aux formes automorphes et nos variétés abéliennes $S_{m}(\Gamma)/D_{m}(\Gamma)$ .
Luego pasa a derivar ciertas relaciones entre las integrales de período de la forma de cúspide de Ramanujan, correspondiente a la curva elíptica $A_{12}(\Gamma(1))$ que otros han estudiado con mayor profundidad y generalidad desde entonces.
Mi pregunta es la siguiente:
¿Se conoce algún resultado general sobre la racionalidad (o falta de ella) de las variedades abelianas $A_{2k}(\Gamma)$ cuando $k>1$ ?
Si la respuesta es no, entonces:
¿Existe alguna heurística o conjetura sobre cuándo/si $A_{2k}(\Gamma)$ puede definirse sobre un campo numérico?
Si no, otra vez,
¿Existe algún criterio general que pueda utilizarse para comprobar eficazmente si $A_{2k}(\Gamma)$ se define sobre un campo numérico para alguna familia de ejemplos no-CM?
