Ecuaciones de segundo orden a primer orden

Question

Necesito escribir

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + 4\sqrt{k}\,\frac{d\theta}{dt}+g\sin(\theta)=0$$

como una ecuación de primer orden.

Lo que he hecho hasta ahora es:

Dejemos que $z = \frac{d\theta}{dt}$ Entonces $z' = \frac{d^2\theta}{dt^2}$

Por lo tanto, la ecuación de segundo orden puede escribirse como

$$z' + z +g\sin(\theta) = 0)$$

Pero no estoy seguro de que esto sea correcto.

Answer 1

Dejemos que $a=4\sqrt k$ $$\frac{d^2\theta}{dt^2} + a\frac{d\theta}{dt}+g\sin(\theta)=0$$ Cambio de función : $\frac{d\theta}{dt}=z(\theta)$

No confundir con $\frac{d\theta}{dt}=z(t)$ que no consigue reducir el orden de la EDO.

$\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=z\frac{dz}{d\theta}$

$$z\frac{dz}{d\theta} + a\:z+g\sin(\theta)=0$$ Dejemos que $z=\frac{1}{y(\theta)}$ $$\frac{dy}{d\theta}=a\:y^2+g\sin(\theta)\:y^3$$ Se trata de una ecuación diferencial de Abel del tipo "no resoluble", en el sentido de "con un número finito de funciones especiales elementales y/o estándar".

Esto significa : No hay esperanza de encontrar una forma cerrada para las soluciones.

Para seguir avanzando hay que considerar los métodos numéricos y/o la aproximación física juiciosa.