Encontrar un operador idempotente

Question

Tomado de A course in functional analysis de Conway, capítulo 2, sección 3, problema 1:

Dejemos que $\mathcal{H}$ sea el espacio de Hilbert real bidimensional $\mathbb{R}^2$ , dejemos que $\mathcal{M} = \{(x, 0)\in \mathbb{R}^2: x \in \mathbb{R}\}$ y que $\mathcal{N} = \{(x, x\tan\theta): x \in \mathbb{R}\}$ , donde $0<\theta<\frac{1}{2}\pi$ . encontrar una fórmula para el idempotente $E_{\theta}$ con Ran $E_\theta = \mathcal{M}$ y Ker $E_\theta = \mathcal{N}$ . Demostrar que $||E_\theta|| = (\sin(\theta)||^{-1}$

A continuación, mi intento de solución:

Un operador idempotente $E_\theta$ es uno tal que $E_\theta^2 = E_\theta$ . Esperaba dejar que $E(x, y) = (\sqrt{x^2+y^2}, 0)$ . Es idempotente y satisface claramente la condición del rango, pero no la del núcleo. La norma de este mapa es también $\frac{1}{\cos(\theta)}$ que está un poco fuera de la norma que el operador se supone que es.

Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

Ese capítulo de Conway es sobre operadores lineales. Obviamente la pregunta espera $E_\theta$ sea lineal; de lo contrario, el operador no está definido de forma única.

El conjunto de operadores lineales sobre $\mathbb R^2$ suele identificarse con el $2\times 2$ matrices. Así que quieres $$ E_\theta=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d\end{bmatrix}. $$ Para estar en $\mathcal M$ queremos que el segundo componente de $E_\theta \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix} $ sea cero. Eso nos da $$ cx+dy=0,\qquad x,y\in\mathbb R. $$ Como esto debería valer para todos $x,y$ nos vemos obligados a tomar $c=d=0$ . También queremos $E_\theta$ para ser un idempotente, por lo que necesitamos $$ \begin{bmatrix} a&b\\0&0\end{bmatrix}=E_\theta=E_\theta^2=\begin{bmatrix} a^2&ab\\0&0\end{bmatrix}. $$ Si $a=0$ obtenemos $E_\theta=0$ que no tendría el núcleo ni la imagen adecuados. Así que $a=1$ .

Con la gama de $E_\theta$ y la idempotencia garantizada, vamos a por el núcleo. Queremos $$ \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&b\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ x\tan\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x(1+b\tan\theta)\\0\end{bmatrix}. $$ Como esto debería valer para todos $x$ Esto obliga a $b=-\frac1{\tan\theta}$ . La norma de $E_\theta$ puede calcularse por definición, pero es más fácil hacerlo $$ \|E_\theta\|^2=\|E_\theta E_\theta^*\|=\biggl\|\begin{bmatrix} 1&-\cot\theta\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0\\-\cot\theta&0\end{bmatrix}\biggr\| =\biggl\|\begin{bmatrix} 1+\cot^2\theta&0\\0&0\end{bmatrix}\biggr\|=\frac1{\sin^2\theta}. $$