¿Qué está mal en considerar la máquina de Atwood como un sistema?

Question

Estoy confundido acerca de un método utilizado en el siguiente problema. Hay una disposición como se muestra a continuación. La superficie es lisa y las poleas son ligeras. Tenemos que encontrar la aceleración $a_0$ de $m_1$.

El método que utilicé para resolverlo fue considerar la polea B y las masas $m_2$ y $m_3$ como un sistema único que baja con la misma aceleración que $m_1$. Si esta aceleración es $a_0$, entonces las ecuaciones de movimiento nos dan $$a_0=\frac {m_2+m_3}{m_1+m_2+m_3}g$$

Sin embargo, la solución del libro de texto trata los movimientos de todos los objetos individualmente, donde $m_1$ tiene una aceleración $a_0$, $m_2$ tiene una aceleración $a_0-a$ y $m_3$ tiene una aceleración $a_0+a$, todos desde el marco de laboratorio (inercial). La respuesta calculada así no coincide con la mía. El libro de texto da $$a_0=\frac {g}{1+ \frac {m_1(m_2+m_3)}{4m_2m_3}}$$

La pregunta es, ¿cuál es el problema con considerar la polea B y las masas $m_2$ y $m_3$ como un único sistema de masa $(m_2+m_3)$? ¿O tenemos que tomar algunas precauciones cuando el sistema se acelera? (La solución del libro de texto está perfectamente bien y también la entendí, pero ¿cuál es el problema con la mía?)

Answer 1

El objeto que se mueve verticalmente es una máquina de Atwood y las dos masas tienen sus propias aceleraciones que van en direcciones diferentes. La aceleración de $m_2$ y $m_3$ (separadas del sistema total) se da por $$a=\frac{m_3-m_2}{m_2+m_3}g\tag{1}$$

La masa $m_2$ está acelerando hacia arriba, por lo tanto, la aceleración en tu caso es $a_0-a; de igual manera, la masa$m_3$está acelerando hacia abajo con una aceleración de$a_0+a$.

La segunda ley de Newton dice que la suma de las fuerzas es igual a $ma$, por lo que deberías estar considerando todas las fuerzas en la configuración.

Answer 2

El problema en el tuyo es que estás considerando incorrectamente que la fuerza neta actuando hacia abajo es $(m_2+m_3)g$ lo cual es incorrecto y eso te llevó a considerar la masa total como $m_1+m_2+m_3$ lo cual nuevamente es incorrecto porque $m_2\neq m_3$. Si $m_2=m_3$ entonces el centro de masa de $m_2$ y $m_3$ estaría en la línea vertical recta a través del centro de la polea B y la fuerza actuaría exactamente en el centro de la polea B, pero $m_2\neq m_3$ por lo que el centro de masa se desplazará entonces en el centro de la polea B la masa efectiva, $m$, debido a la cual la fuerza neta está actuando hacia abajo debe ser encontrada.

La fuerza neta actuando es la suma de las dos tensiones en la cuerda donde las masas $m_2$ y $m_3$ están suspendidas. Desde el diagrama de cuerpo libre de $m_2$ y $m_3$, la tensión $T$ puede ser encontrada y la fuerza neta actuando en la polea B será $2T$. $$F_{net}=2T=4m_2m_3g/(m_2+m_3)$$ $F_{net}/g=m$ donde $m=4m_2m_3/(m_2+m_3)$ es la masa efectiva de $m_2$ y $m_3$ con la polea B

Así que el nuevo problema consiste de dos masas $m_1$ y $m$ con la polea A, $m$ reemplazando a $m_2$ y $m_3$.

$F_{net}=mg$ y la masa total ahora es $M=m_1+m$ y $$a_0=F_{net}/M$$