Trabajando en la secuencia, posiblemente recursiva

Question

Estoy trabajando en este problema que pide encontrar si la secuencia converge o no y si es así el valor al que converge. No estoy seguro de cómo tratar este tipo de preguntas, pero me parece que puede ser una relación recursiva. Se trata de $a_n=\dfrac{1^2}{n^3}+\dfrac{2^2}{n^3}+ \cdots +\dfrac{n^2}{n^3}$

Lo que he intentado es calcular los primeros términos, $a_1=1$ , $a_2=0.625$ , $a_3=0.5185$ etc. También intenté escribirlo como $\dfrac{1^2+2^2+..+n^2}{n^3}$ pero estoy muy perdido en cuanto a dónde ir con esto.

Gracias a todos

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Entonces: \begin{align} \frac{1^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3} &= \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3}\\ &\underset{n\to\infty}{=} \frac{2n^3}{6n^3}\\ &= \frac{1}{3} \end{align}

Answer 2

Tenga en cuenta que $a_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\dfrac{n^3(1+1/n)(2+1/n)}{6n^3} \rightarrow \dfrac{1}{3}$

Answer 3

Si no conoces la forma cerrada de la suma de cuadrados, puedes considerar $\displaystyle \dfrac{1^2}{n^3} + \ldots + \dfrac{n^2}{n^3}$ como una suma de Riemann para la integral $\displaystyle \int_0^1 x^2\; dx$ .