¿Por qué no es $\{0\}$ siendo ideal primo no es maximal en $\mathbb{Z}$ ?

Question

Estoy confundido con los siguientes argumentos :-

$\mathbb{Z}$ es un dominio euclidiano con el mapa de evaluación $\phi(r)=|r|$ y por lo tanto es un PID.

El ideal $\{0\}$ es un ideal primo en $\mathbb{Z}$ desde $ab=0$ implica $a=0$ o $b=0$

Conozco el teorema de que en un EPI un ideal es maximal si es primo.

Así que esto debería dar $\{0\}$ ¡ideal como máximo! lo cual es obviamente falso ya que $\{0\}\subset p\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$ , donde $p$ es primo.

Puede que sea una pregunta ingenua, pero ¿en qué me equivoco? Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Conozco el teorema de que en un EPI un ideal es maximal si es primo.

Entonces conoces una versión errónea de ese teorema. El teorema real dice "En un PID a no cero ideal es primo si es maximal".