¿Cómo es que multiplicando la masa por la distancia nos da la posición del centro de masa?

Question

Si las coordenadas del centro de masa son:

$$ x_{\text{CM}} = \frac{m_1x_1 + m_2 x_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots} $$

Estoy confundido con la masa que se multiplica con las distancias que da otra distancia. ¿Por qué ocurre eso? Es decir, ¿cómo funciona esto? Por favor, explique.

Solo quiero saber como derivan esta ecuación.Me parece demasiado arbitraria.Si hicieron algún experimento y encontraron esto o fue solo un milagro que encontraran una ecuación para la posición del centro de masa al azar.

Answer 1

La forma más fácil de ver esto es empezar con todas las masas iguales; elegir $m_i=1$ para todos $i$ . Entonces el centro de masa es $$x_{CM} = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{1+1+\cdots+1} = \frac1n\sum_1^n x_i,$$ que no es más que la media de los $x_i$ .

Ahora supongamos que la masa en $x_1$ es $3$ en lugar de $1$ . Corta ese objeto en tres más pequeños, cada uno con masa $1$ ; todos ellos se encuentran todavía en $x_1$ . En ese caso, el centro de masa será $$x_{CM} = \frac{(x_1+x_1+x_1)+x_2+\cdots+x_n}{(1+1+1)+1+\cdots+1}= \frac{3x_1+x_2+\cdots+x_n}{3+1+\cdots+1}.$$

En otras palabras, se puede pensar en la masa como una "repetición" de un objeto. Entonces, sólo es cuestión de generalizar este concepto a las masas que no son números enteros.

Answer 2

Puede ver cómo funciona en $1D$ más fácilmente. Imagina que tienes un peso de $5$ en $2$ y un peso de $10$ en $3$ . Se podría pensar que el CM debería ser $2/3$ del camino porque el segundo peso es el doble de grande. De hecho $$x_{\text{CM}} = \frac{2\cdot 5 + 3 \cdot 10}{5+10}=\frac {40}{15}=\frac 83$$ Es sólo la media ponderada de todas las masas.

Answer 3

Según Wikipedia centro de masa de una distribución de masa en el espacio es definido como el único punto en el que la posición relativa ponderada de la masa distribuida suma cero. Puedes leer más sobre las propiedades mecánicas del centro de la masa en el artículo. Aquí derivamos la fórmula requerida para el centro de la masa de un sistema unidimensional compuesto por un número finito de masas $m_1,\dots, m_n$ colocados en puntos $x_1,\dots, x_n$ respectivamente. Dado un punto $x$ la suma $S(x)$ de las posiciones relativas ponderadas $x-x_i$ de la masa distribuida es igual a $\sum_{i=1}^n m_i(x-x_i)$ . Para el centro $x_{CM}$ de la masa del sistema $S(x)=0$ lo que permite obtener fácilmente la fórmula requerida.

Answer 4

El punto que se está pasando por alto aquí es que el "centro de masa" no es una cosa real - es una construcción matemática que facilita los cálculos. La fórmula del centro de masa no se deriva, es definido . Así que es más prudente plantear la pregunta: por qué utilizamos el centro de masa, en lugar de qué es el centro de masa. Entonces, ¿qué encontramos de útil en el centro de masa? Para empezar, en un sistema aislado, su ecuación de movimiento es siempre simple. Sea $\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_n$ sean las posiciones de un sistema de partículas en el espacio con masas $m_1,...,m_n$ . Entonces, $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{r}_{\text{C.O.M}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i \dot{\mathbf{r}}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$$ En el denominador del R.H.S. está la masa total, que es constante. En el numerador está simplemente el momento total del sistema, que, al estar aislado, se conserva. Por lo tanto, $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{r}_{\text{C.O.M}}=\text{const.}$$ Por lo tanto, la ecuación de movimiento para el centro de masa es siempre constante o lineal. También se puede demostrar que para un cuerpo rígido continuo en un campo de fuerzas constante, el par resultante alrededor del centro de masa es $0$ . Un cálculo ciertamente tedioso, pero puedo resumirlo si lo desea. También se puede demostrar, con un cálculo igualmente tedioso, que la fuerza gravitatoria que sienten todos los elementos de masa de un objeto continuo en el espacio es la misma que si sustituyéramos el objeto continuo por una partícula puntual de idéntica masa en el centro de masa del objeto continuo.

La cuestión es que, a veces, las ecuaciones matemáticas que vemos no son una realización de una cosa real escrita en matemáticas, sino una construcción abstracta pero útil que nos permite hacer predicciones precisas de fenómenos reales observados.