Demostrando que un espacio zig-zag es contractible

Question

Estoy tratando de resolver la parte (b) del ejercicio de 0.6 en Hatcher Topología Algebraica:

(b) Deje $Y$ ser el subespacio de $\mathbb{R}^2$ que es la unión de un número infinito de copias de $X$ dispuestos como en la figura de abajo. Mostrar que $Y$ es contráctiles, pero no la deformación retractarse en cualquier momento.

Esta pregunta ha sido discutido varias veces antes en este sitio (y otros lugares). Sin embargo, el enfoque siempre fue en demostrar que el espacio no es la deformación retráctil. Lo que me interesa es mostrar que el espacio es contráctiles (función identidad es nullhomotopic). No era una cuestión a abordar esta cuestión para un espacio similar, pero la respuesta está más allá de mi conocimiento. Estoy convencido de que hay un más fácil la prueba para alguien que sólo lee las primeras páginas de Hatcher del libro.

He encontrado algunas soluciones en la web, pero algunos están mal y faltan algunos detalles cruciales.

Lo que yo sé:

• Es suficiente para mostrar que el espacio de la deformación se retrae en el sentido débil a la negrita zig-zag. Por un ejercicio anterior (0.4), hay una homotopy de equivalencia. La negrita zigzag es homeomórficos a $\mathbb{R}$, lo que hace contráctiles.
• Podemos construir este espacio como un espacio cociente de la inconexión de la unión de countably muchas copias de un triángulo, mediante la identificación de aristas comunes. Es fácil demostrar que esta unión es contráctiles. Estoy teniendo un tiempo difícil mostrar que la homotopy transferencias para el cociente de espacio.

Este es el auto-estudio. Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

Usted ha identificado correctamente el hecho de que cada individuo triángulo es contráctiles, y la fuerte deformación se retrae a su "base".

El punto clave aquí es que si usted acaba de hacer la retracción en cada triángulo, el resultado no es continuo, debido a que la secuencia de "cerdas" en cada triángulo enfoque de la base de otro triángulo, por lo que si usted comienza a deslizarse por las cerdas sin mover la base, usted es esencialmente "ripeo" de la estructura. Lo voy a dejar como un ejercicio para probar este rigor.

Afortunadamente, hay una solución: Deslice la base así! Simplemente mover cada punto en la base a lo largo de zig-zag a la derecha a la misma velocidad que estás contratación de los triángulos. Como puntos en las cerdas llegar a la base, ellos la vuelta de la esquina y empezar a deslizarse a lo largo del zigzag así, y como puntos de llegar a la final de una base de tenerlos de vuelta a la esquina en el zig-zag y continuar a la derecha a la misma velocidad.

Ahora no hay "ripeo" sucediendo, ya que cada base está yendo en la misma dirección que el paralelo cerdas cerca de él. Una caracterización que me gusta de este homotopy es: "Cada punto tiene un camino preferido a cabo hasta el infinito, solo les digo a todos empiezan a marchar."

Una vez que usted se ha movido todo a una distancia de 1, todas las cerdas se han retraído en el zig-zag y usted tiene un "débil deformación de retracción" de la totalidad del espacio para el zig-zag, y listo. Tenga en cuenta que esto no es una verdadera deformación de retracción, ya que sólo consiguió trabajo por los puntos en movimiento en zig-zag en sí, por lo que la base no era fijo.

Demostrando que todo esto es continua es bastante elemental, y se puede hacer directamente de las definiciones de homotopy y mapa continuo, así que voy a dejar a usted para formalizar. Me gustaría recomendar que se rompa en los casos: en Primer lugar demostrar que es continua en los puntos a lo largo de las cerdas, a continuación, mostrar que es continua en los puntos en el interior de las bases, y, finalmente, demostrar que es continua en los puntos en las esquinas de zig-zag.