Clasificación de Wigner de las partículas frente al espectro hamiltoniano genérico

Question

Wigner nos dice que debemos asociar irreposiciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré con los estados de las partículas. Su clasificación utilizando los vectores propios de los generadores del espaciotiempo $P^\mu$ y el método de los pequeños grupos nos dice que las partículas están asociadas a dos números $m^2$ y girar $S$ .

Sin embargo, si observamos un espectro genérico del hamiltoniano para una teoría que interactúa, obtenemos algo parecido a

Esto incluye estados de una sola partícula, estados ligados y un continuo de estados multipartícula y cuasi-partícula.

Estos estados adicionales están parametrizados por otras etiquetas discretas y continuas. Mi pregunta es si estos estados extra forman irreps del grupo de Poincaré. Si no es así, ¿por qué no? A mí me parece que su tratamiento sólo contempla los hamiltonianos de la teoría libre, es decir, sólo contempla los estados de una sola partícula.

Answer 1

La clasificación de Wigner contempla los números cuánticos asociados al grupo de Poincaré. No dice nada sobre otros números cuánticos.

Consideremos una teoría libre con un estado de dos partículas $|\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2\rangle$ . Wigner te dirá que el número cuántico asociado al generador de traslaciones, $P^\mu$ es $p^\mu_1+p_2^\mu$ la energía del centro de la masa. Wigner no te dirá nada sobre el otro número cuántico, $p_1^\mu-p_2^\mu$ el momento relativo. El momento total es un número cuántico asociado a un generador de Poincaré; el momento relativo no lo es. Wigner habla del primero, no del segundo. El momento total está asociado a una simetría del espaciotiempo; el momento relativo no lo está.

La clasificación de Wigner no es más que una afirmación sobre la teoría de la representación: los estados de la teoría pueden organizarse en representaciones de un conjunto completo de observables conmutables; el grupo de Poincaré te da un conjunto universal de tales operadores, pero no se afirma que sea completo. Para etiquetar completamente los estados de la teoría, también hay que diagonalizar otros operadores, que en general no provienen de las simetrías del espaciotiempo (por ejemplo, también se suelen encontrar números cuánticos asociados a cargas conservadas para simetrías internas, como la carga eléctrica; de nuevo, éstos no están en el grupo de Poincaré).