Simplifique $(k +1)! > (k + 1)^2$ para demostrar que es cierto para $k ≥ 4$

Question

Intento demostrar que esta afirmación es cierta para $k 4$ . No sé cómo trabajar con $k + 1$ factorial, así que estoy un poco perdido en probar esto.

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilice la relación

$$(k+1)!=(k+1)k!$$

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$k! = k\times \bigg((k-1)\times ... \times 1\bigg) = k \times (k-1)!$$

Ahora

$$(k+1)!-(k+1)^2 = \color{red}{(k+1)}k!-\color{red}{(k+1)}^2$$

$$=\color{red}{(k+1)}\big(k!-(k+1)\big)$$

Aquí hemos sacado $(k+1)$ como el factor común .

Ahora, veamos el segundo factor, $\big(k!-(k+1)\big)$ . $$k!-(k+1) = k!-k-1$$

$$ = \bigg(\color{red}{k}\cdot (k-1)! -\color{red}{k}\bigg)-1$$

$$=\color{red}{k}\bigg((k-1)!-1\bigg)-1$$

Ahora no es difícil demostrar que $${k}\bigg((k-1)!-1\bigg)-1\geq0 $$ Y obviamente $(k+1)>0$

Entonces...

Answer 3

Una pista: Para lo cual $k$ ¿funciona este argumento? $$ k! > 2k \ge k+1 $$