La construcción de $V^* \otimes V^*$ consiste en crear símbolos formales y luego añadir relaciones como la bilinealidad mediante el cociente. Una forma bilineal $V\times V\to F$ puede pensarse como una matriz considerando $y^T Mx$ e ignorando $y^T$ y $x$ . Dos formas lineales $L: V \to F$ y $M: V \to F$ tienen una noción de producto tensorial $(L \otimes M)(\alpha, \beta) = L(\alpha)M(\beta)$ .
¿Se supone que hay una correspondencia entre los tensores de $V^* \otimes V^*$ y las formas bilineales $V\times V\to F$ . De este modo, el uso del término "producto tensorial" en la construcción formal del producto tensorial $V^* \otimes V^*$ se reconcilia con la noción concreta de productos tensoriales de formas.
Pero no consigo conciliar la construcción formal del producto exterior (o producto cuña) con la noción concreta de productos exteriores para formas multilineales. Por un lado, un libro que estoy leyendo se refiere al producto exterior de una alternancia $r$ -forma lineal $L$ y una alternancia de $s$ -forma lineal $M$ utilizando el producto tensorial
$$L \wedge M = \frac{1}{r!s!} \pi_{r+s}(L \otimes M)$$
donde $\pi$ se define generalmente como $\pi_rL=\sum _\sigma (\text{sgn } \sigma)L_{\sigma}$ .
Pero, por otro lado, en la noción de construcción formal, ¿no se supone que el producto exterior es el mismo que el producto tensorial pero con relaciones adicionales creadas por el cociente?
¿Cómo debo entender la relación entre el producto exterior de dos formas y el producto exterior como toma de los tensores y adición de nuevas relaciones?
