Prueba de que esta relación de divisibilidad es reflexiva, transitiva, ...

Question

No puedo manejar esta relación-evidencia.

---

$xRy \iff (\forall t\in\mathbb{N} \ \text{with $ t $ a prime-number}: \ t\mid x \Rightarrow t\mid y)$

( $t\mid x$ significa $t$ divide $x$ ; $t\mid y$ significa $t$ divide $y$ )

---

Ahora tengo que probar

• reflexividad: xRx t|x => t|x

• transitividad:zN: xRy yRz => xRz (t|x => t|y)(t|y => t|z) => (t|x => t|z)

• simetría: xRy <=> yRx (t|x => t|y) <=> (t|y => t|x)

• asimetría: xRy => not(yRx) (t|x => t|y) => not(t|y => t|x)

• antisimetría: xRy yRx => x=y (t|x => t|y)(t|y => t|x) => (x=y)

---

Ya he demostrado que es reflexivo.

También intenté mostrar las otras, pero mis pruebas eran erróneas o no lo suficientemente concretas.

Tampoco sé, cuando $(t\mid x \Rightarrow t\mid y)$ de $t\mid x$ sigue $t\mid y$ ¿Cómo puede $(t\mid y \Rightarrow t\mid x)$ de $t\mid y$ sigue $t\mid x$ y lo que la implicación => significa aquí. Y como no lo entiendo, tampoco puedo mostrar ningún ejemplo que demuestre la falsedad.

Así que agradezco cualquier ayuda que pueda recibir.

Answer 1

Sugerencia $\, x R y \!\iff\! \cal P_x \subseteq \cal P_y\,$ para $\,\cal P_n = $ conjunto de factores primos de $\,n,\,$ lo reduce a propiedades fáciles de $ $ ' $\subseteq$ '

Nota: $ $ Asimismo, muchas relaciones de equivalencia pueden obtenerse mediante el pullback de funciones - véase núcleos de equivalencia (por ejemplo, fibras, preimágenes, conjuntos de niveles/curvas, etc.).

Answer 2

SUGERENCIA:

El $\Rightarrow$ significa "implica" por lo que $t\mid x\Rightarrow t\mid y$ significa que siempre que $x$ tiene $t$ como factor también lo hace $y$

Para la transitividad se supone que $xRy$ y $yRz$ y pensar en lo siguiente

$$ xRy\iff( t\mid x\Rightarrow \underline{t\mid y}) $$ también $$ yRz\iff( \underline{t\mid y}\Rightarrow t\mid z). $$ Ahora las partes subrayadas son las mismas por lo que tienes $t\mid x\Rightarrow t\mid z$ que es $xRz$ que queríamos demostrar por transitividad.

Puedes probar ahora los otros

Espero que esto haya ayudado

Answer 3

Supongo que la relación se da sobre $\mathbb{N}$

Para mostrar la reflexividad, es decir, $x\mathrel{R}x$ (por cada $x\in\mathbb{N}$ ), hay que demostrar que, dado cualquier número primo $t$ , si $t\mid x$ entonces $t\mid x$ . Esto es obviamente cierto.

¿Es la relación antisimétrica? No: se puede ver que $2\mathrel{R}4$ y $4\mathrel{R}2$ pero $2\ne 4$ .

Transitividad. Supongamos que $x\mathrel{R}y$ y $y\mathrel{R}z$ ; quiere demostrar que $x\mathrel{R}z$ . Entonces, supongamos que $t$ es un primo con $t\mid x$ Entonces $t\mid y$ por la razón de $x\mathrel{R}y$ y por lo tanto $t\mid z$ por la razón de $y\mathrel{R}z$ . La condición de que $x\mathrel{R}z$ ha sido verificada.

Prueba los otros.