Escrito como la suma de dos cuadrados de primos

Question

Un conocido resultado debido a Fermat establece que cualquier prime $p \equiv 1 \pmod 4$ puede ser escrito como la suma de dos cuadrados,$\,$ $p = a^2 + b^2$ .$\,$ Podemos definir un conjunto $\,A\,$ por recoger todas las $a$'s y $b$'s que se presentan en esta forma (haciendo caso omiso de la multiplicidad).$\,$ Los ejemplos incluyen:$\;$ $5 = 1^2 + 2^2$,$\;$$13 = 2^2 + 3^2$,$\;$$17 = 1^2 + 4^2$,$\;$$29 = 2^2 + 5^2$,$\;$y $\,$$37 = 1^2 + 6^2$. $\;$A partir de estos ejemplos podemos ver que $\,A\,$ comienza con $\;A = \,${$\,$$1,2,3,4,5,6, ...$$\,$}$\;$.

Preguntas: $\;$ 1) el conjunto de $\,A\,$ coinciden con el conjunto de todos los números naturales?

$\qquad$$\qquad$$\quad$2) Si no es así o si no se conoce, hay al menos una buena límite inferior de la densidad de$\qquad$$\qquad$$\quad$$\;$$\;$ el conjunto$\,A\,$?

Gracias.

Answer 1

1) es casi seguro que es verdad, aunque no parece ser un resultado conocido.

Esto es equivalente a demostrar que cada línea vertical en el Gaussiano enteros contiene una Gaussiana prime. Hay muchos resultados similares a lo largo de estas líneas, como en el Tao del resultado que el de Gauss de los números primos contener de forma arbitraria constelaciones.

De hecho, es probable que cada línea vertical que contiene una infinidad de números primos, pero esto implica Landau cuarto problema, y por lo que es ciertamente difícil.

Ya que con frecuencia es tan difícil demostrar que una secuencia contiene una privilegiada como lo es para mostrar que contiene una infinidad, no me gustaría ser optimista de que esta conjetura se resuelven en cualquier momento pronto.

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Puede ser una manera de obtener una buena respuesta a la 2) el uso de resultados conocidos. Por ejemplo, un estándar de la densidad es el teorema de que la Gaussiana de los números primos están distribuidos uniformemente a través de los sectores, lo que podría conducir a un límite inferior en la densidad de su $x$-coordenadas.

Answer 2

2) observando esta derivación, hay asymptoticaly $2n^2/\log n$ primos Gaussianos en el % de círculo $|z|<n$y por lo tanto, en la plaza $0<\Re z,\Im z<n$ hay por lo menos (asymptoticaly) $n^2/2\log n$ primos Gaussianos. Por lo tanto, por principio de casillero, por lo menos abscisas de $n/2\log n$de % de % primer $n$contengan al menos un primer gaussiano.

Se trata de un límite inferior muy crudo, pero es mejor que nada.