Una serie en la que algunos términos están en AP y otros en GP

Question

En una secuencia creciente de cuatro enteros positivos, los tres primeros términos están en AP, los tres últimos en GP y el cuarto término supera al primero en $30$ entonces la diferencia común de AP que se encuentra en el intervalo $[1,9]$ es:

MI INTENTO:

Que la serie sea $W,X,Y,Z$ .

Los tres primeros términos son $a-d,a,a+d$ y los tres últimos términos son $b/r$ , $b$ , $br$ .

Así que obtenemos $b=a+d$ y $$r=\frac{30 + a-d}{a+d}$$

Entonces sustituí $b$ y $r$ en términos de $a$ y $d$ .

He obtenido una ecuación cuadrática. Después de esto no pude hacer nada ya que utilicé todos los datos dados.

Answer 1

Dejemos que $a,b,c,d$ sean los cuatro enteros positivos. Los tres primeros están en AP y los tres últimos en GP por lo que tenemos $$b-a=x,c-b=x,\dfrac{d}{c}=\dfrac{c}{b}\rightarrow bd=c^2$$ además El 4 es el 1 más 30, es decir $d=a+30$

Sustituyamos la última información en el sistema $$b-a=x;\;c-b=x;\;b(a+30)=c^2$$ obtenemos $$c=b+x;\;a=b+x\rightarrow b(b+x+30)=(b+x)^2\rightarrow b^2+bx+30=b^2+2bx+x^2\rightarrow $$ $$b=\frac{x^2}{30-3x}$$ como los números son enteros positivos el único valor para $x$ es $x=9$ y los cuatro términos son $a= 18,\;b= 27,\;c= 36,\;d= 48$