Un problema relativo a la medida exterior

Question

¿Es cierto lo siguiente para la medida exterior?

$\forall j\in\mathbb{N},A_j\subset \mathbb{R}^n$ .entonces $$m^*\left(\bigcup_{j\in \mathbb{N}}A_j\right)=\lim_{N\to\infty}m^*\left(\bigcup_{j=0}^{N}A_j\right)$$

Answer 1

Es falso en general para las medidas exteriores. Decidí escarbar en este contraejemplo porque parecía haber un malentendido aceptado en este tema.

Esto lo encontré en Paul R. Halmos, Measure Theory, 1974, página 53, ejercicio (2). Afirma que es falso para las medidas exteriores no regulares en el ejercicio (4), y da este tipo de construcción como una pista del ejercicio (2).

Decimos que $A\subset \mathbb{R}$ tiene una condensación infinita si hay incontables puntos de $A$ fuera de todo intervalo acotado. Denotemos $2^{\mathbb{R}}$ como el conjunto de poderes de $\mathbb{R}$ .

Dejemos que $m^{*}:2^{\mathbb{R}}\to [0,\infty]$ sea tal que:

• $m^{*}(A)=0$ si $A$ es contable.

• $m^{*}(A)=1$ si $A$ es incontable pero no tiene una condensación infinita.

• $m^{*}(A)=\infty$ si $A$ tiene una condensación infinita.

Entonces $m^{*}$ es una medida externa y la única $m^{*}$ -Los conjuntos medibles son conjuntos contables y conjuntos con complementos contables. Se puede comprobar que, por ejemplo $m^{*}([0,1])=1$ y que no existe ningún conjunto que contenga $[0,1]$ con complemento contable y sin condensación infinita. Por lo tanto, $m^{*}$ no es regular.

Ahora dejemos que $A_{i}=[-i,i]$ por cada $i\in \mathbb{N}$ de donde $A_{1}\subset ... \subset A_{i}\subset A_{i+1}\subset ...\subset \mathbb{R}$ . Cada $A_{i}$ es incontable y no tiene una condensación infinita por lo que $m^{*}(A_{i})=1$ para cada $i\in\mathbb{N}$ . Pero $\mathbb{R}=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}$ y $m^{*}(\mathbb{R})=\infty$ . Por lo tanto: $$\begin{align*}\lim_{i\to\infty}m^{*}(A_{i})=1\neq \infty =m^{*}(\mathbb{R})=m^{*}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}) \end{align*}$$ Según se requiera.

Answer 2

Sí, es cierto para la medida exterior de Lebesgue. La prueba es de Zygmund & Wheeden Medida e integral:

(3.26) es justo el resultado deseado para conjuntos medibles.