Sobre una representación en serie alterna de la función xi de Riemann

Question

En un trabajo reciente, Dan Romik demostró la siguiente representación en serie infinita alternante para la función xi de Riemann:

Puede que me pregunte si podemos transformar esta suma alternada infinita en la Fórmula de Suma alternada de Abel Plana como :

$$\sum_{k=0}^ (-1)^nf(k) = (1/2)f(0) + i\int_0^\frac{f(iy)f(iy)}{2\sinh(y))} dy$$ ?

(Los coeficientes parecen seguir la condición de crecimiento de Abel Plana)

Answer 1

Su fórmula no tiene nada de especial. Las funciones de Hermite $h_n(t)=e^{-x^2/2} H_n(t),H_n(t)=e^{t^2}\frac{d^n}{dt^n} e^{-t^2}$ son una base ortogonal de $L^2$ así $$e^{-x^2/2}\Xi(t)=\sum_n \frac{c_n}{\|h_n\|_2^2} h_n(t), \qquad c_n= \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\Xi(t) h_n(t)dt$$ Desde $e^{-t^2/2} \Xi(t)$ es par y $H_{2n+1}$ es impar entonces $c_{2n+1}=0$ .

$\Xi(t)$ es la transformada de Fourier de $\Phi$ y la transformada de Fourier de $\frac{d^{2n}}{dt^{2n}} e^{-t^2}$ es $\sqrt{\pi}(ix)^{2n}e^{-x^2/4}$ así $$c_{2n}=\int_{-\infty}^\infty \Xi(t)\frac{d^{2n}}{dt^{2n}} e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}\int_{-\infty}^\infty \Phi(x) \sqrt{\pi}(ix)^{2n}e^{-x^2/4}dx$$ No se puede convertir en una suma Abel-Plana.