Integración de $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2 }{x^4 + a^4}\,dx$ .

Question

$$\int_\infty^\infty \dfrac{x^2 }{x^4 + a^4}\,dx$$

La siguiente pregunta se dio con los límites $\infty$ a $\infty$ pero creo que fue una errata y el límite inferior sería $- \infty $ pero con eso, la pregunta sería

$$\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2 }{x^4 + a^4}\,dx$$

Y me quedé perplejo sobre cómo resolverlo. Si tomo $x^3=t$ entonces el numerador sería $dt$ pero en el denominador tengo $x^4$ y no pude convertirlo en $x^3$ . Así que no sé cómo resolverlo

Answer 1

Sugerencia . Supongamos que $a \ne0$ . Se puede escribir $$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2 }{x^4 + a^4}\,dx&=\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1 }{x^2 + \frac{a^4}{x^2}}\,dx \\\\&=\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1 }{\left(x -\frac{a^2}{x}\right)^2+2a^2}\,dx \\\\&=\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1 }{x^2+2a^2}\,dx \\\\&=\frac{\pi\:\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{|a|} \end{align} $$ donde hemos utilizado $$ \int_{-\infty}^\infty f\left(x -\frac{a^2}{x}\right)dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\:dx $$ probado aquí .

Answer 2

Consideremos el contorno semicircular estándar en la mitad superior del plano complejo, con $\gamma_r=\{re^{ix},x\in(0,\pi)\}$ y $\delta_r=[-r,r]$ . Por lo tanto, se deduce rápidamente que, asumiendo $a>0$ :

$$\lim_{r\to\infty}\int_{\gamma_r}\frac{z^2}{z^4+a^4}\ dz=0$$

$$\begin{align}\lim_{r\to\infty}\oint\frac{z^2}{z^4+a^4}\ dz&=\lim_{r\to\infty}\int_{\delta_r}\frac{z^2}{z^4+a^4}\ dz\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{x^4+a^4}\ dx\\& =2\pi i\left(\frac1{4ae^{\pi i/4}}+\frac1{4ae^{3\pi i/4}}\right)\\&=\frac\pi{a\sqrt2}\end{align}$$