Imagínese que se rellena una línea finita de longitud unitaria, o un círculo con contorno de longitud unitaria (para evitar efectos de borde), con $N$ varillas" unidimensionales de tal manera que sus extremos LHS, en las posiciones $(p_1, ..., p_k, ..., p_N) \in P$ se colocan de acuerdo con una distribución aleatoria uniforme sobre [0, 1]. Aquí, las longitudes de las varillas, $(l_1, ..., l_k, ..., l_N) \in L$ se distribuyen exponencialmente según algún parámetro de tasa $\lambda$ - es decir, la variable aleatoria $l_k$ tiene distribución $l_k$ ~ Exp( $\lambda$ ), dando una función de densidad de probabilidad para la longitud de la varilla de $\lambda e^{\lambda l}$ . Del mismo modo, cabe esperar una distribución exponencial para las distancias entre puntos adyacentes en el conjunto $P$ .
Tenemos las siguientes dos reglas para manejar los solapamientos entre barras:
(1) - Si el "contorno" de una varilla (digamos, "Varilla A") cubre completamente a otra (digamos, "Varilla B"), es decir, cuando (Varilla A-LHS) < (Varilla B-LHS) y (Varilla A-RHS) > (Varilla B-RHS), eliminamos la "Varilla B" de la línea y ya no la consideramos.
(2) - Si sólo hay un solapamiento parcial en los contornos de dos barras, "Barra A" y "Barra B", la longitud de este solapamiento se divide por igual y cada mitad se añade a los contornos de "Barra A" y "Barra B", respectivamente.
Partiendo de nuestra distribución exponencial inicial de longitudes de varillas, $(l_1, ..., l_k, ..., l_N)$ Después de este proceso de superposición y división, ¿cuál es la nueva distribución de probabilidad para la longitud de una varilla? $l_k$ ?
Algunas observaciones:
Como $\lambda \rightarrow \infty$ El número de cañas que quedan en la línea (después de que se hayan solucionado los solapamientos) debería aumentar, y la longitud media de las cañas debería disminuir.
Como $N \rightarrow \infty$ El número de varillas procesadas por solapamiento que quedan en la línea debería aumentar y la longitud media de las varillas debería disminuir. Intuitivamente, yo esperaría que el número de varillas que quedan en la línea después del procesamiento por solapamiento aumentara cada vez más lentamente con $N$ después de alcanzar algún valor de umbral/saturación (presumiblemente cuando la línea está completamente cubierta de varillas).
Como $\lambda \rightarrow -\infty$ En el caso de que la longitud de las varillas sea mayor que la de las varillas, deberían quedar menos varillas en la línea después del procesamiento de solapamiento, y la longitud media de las varillas debería aumentar. A un valor suficientemente grande de $\lambda$ , deberíamos quedarnos con una sola varilla en la línea que tiene el lado más izquierdo/pequeño del LHS. Si además tenemos que $N \rightarrow \infty$ La longitud media de la varilla debe aproximarse a la longitud unitaria de la línea.
Como $N \rightarrow 0$ Debería haber menos varillas y una longitud media de varilla cada vez mayor.
Inspirado por la respuesta de Joseph O'Rourke, y algunos resultados de simulación míos, si uno arregla $\lambda$ y deja que $N \rightarrow \infty$ parece que se converge a una distribución de longitudes de varilla centrada en un valor medio entre $\frac{L}{2}$ y $L$ , donde $L$ es la longitud media original de las varillas antes del tratamiento de solapamiento. Sin embargo, esta distribución parece ser gaussiana, no uniforme.
¿Convertimos realmente a una distribución gaussiana? ¿Cómo cambia la distribución y su varianza al aumentar $N$ ?
