$\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n}f=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E_n}f$ dado $f$ positivo y medible

Question

Estoy aprendiendo sobre la teoría de la medida (específicamente la intregación de Lebesgue) y necesito ayuda con el siguiente problema:

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,+\infty)$ sea medible y que $\{E_n\}$ sea una colección de conjuntos medibles disjuntos. Demostrar que $\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n}f=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E_n}f.$

Por comodidad, he puesto $E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$ .

Este problema parece una aplicación del teorema de convergencia monótona pero me está costando aplicarlo. Necesito encontrar una secuencia de funciones que sea positiva y no decreciente pero no sé cómo definirla.

Answer 1

Dejemos que $E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$ entonces $f\chi_E=\sum_{n=1}^{\infty}f\chi_{E_n}$ Por lo tanto $$ \int_Ef=\int_{\mathbb{R}}f\chi_E=\int_{\mathbb{R}}\sum_{n=1}^{\infty}f\chi_{E_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\mathbb{R}}f\chi_{E_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E_n}f$$ El teorema de convergencia monótona es el que nos permite intercambiar la suma y la integral, con $g_m=\sum_{n=1}^mf\chi_{E_n}$ siendo la secuencia no decreciente.

Answer 2

Establecer $f_N=\sum_{n=1}^{N} f\chi_{E_n}$ .

Como $f\chi_{E_n}\geq 0$ para cada $n$ , $f_1\leq f_2 \leq f_3 \leq f_4....$ .

Ahora observe que $f_n \rightarrow f \chi_{E}$ como $n\rightarrow \infty$ , donde $E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$ . Así, por MCT obtenemos la siguiente igualdad:

$\lim_{n} \int f_n d\mu= \int f\chi_{E} d\mu$ .

Que es la conclusión que buscas.