Demostrar que $G$ es el producto directo interno de $H$ y $K$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $20$ . Si $G$ tiene un subgrupo $H$ y $K$ de pedidos $4$ y $5$ respectivamente, de manera que $hk=kh$ para todos $h \in H$ y $k \in K$ , demuestre que $G$ es el producto directo interno de $H$ y $K$ .

Lo que tengo hasta ahora:

reclamar: $G = H \times K$ producto interno directo de $H$ y $K$

(i)
$(H\cap K = \phi)$

Desde $K$ es de 5 ciclos por lo que cada elemento de $K$ es de orden $5$ , lo mismo para los elementos de $H$ desde $|H| = 4$

(ii) Cálculo de la orden de $HK$

Tenemos $hk = kh$ para todos $h \in H$ y $k \in K$ ---- (i)

\=> $HK = KH$

Supongamos que para $h$ y $h'$ en $H$ y $k$ en $K$ si $hk = h'k$ entonces

$(hk = h'k \rightarrow h^{-1}hk = h^{-1}h'k \Rightarrow e.h = h^{-1}h'k \Rightarrow h^{-1}h'=e)$

Así, utilizando (i) $h = h'$ (nota que $(h^{-1}h' \in H))$

Así, todos los elementos que aparecen en $HK$ son distintos
$(HK=\{hk :h \in H, k \in K \}$ y por lo tanto $|HK| = |H| \times |K| = 4 \times 5 = 20$

Desde entonces, $HK$ es un subgrupo de G y $|HK|=|G| => G = HK$

$HK$ es un subgrupo ya que $hk$ y $h'k'$ perteneciente a $HK => (hk)(h'k') = h (kh') k' = hh' kk'$ pertenece a $HK$ y, por lo tanto, está cerrado

Este es un problema de revisión de exámenes. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sólo $(1)$ .

Para demostrar $H\cap K=\{e\} (i.e.|H\cap K|=1) $ También puedes pensar,

Supongamos que existe un elemento $x \in H\cap K $ se deduce que $x \in H$ y $x \in K$

obviamente , $|x| $ debe dividir $|H|=4$ y $|K|=5$ ,

por lo tanto $|x|=1$ implica $x=e$

Answer 2

Pistas:

\== Utilizando los teoremas de Sylow demostrar el subgrupo de orden $\;5\;$ es normal en cualquier caso

\== Lo anterior ya nos da $\;G=K\rtimes H\;$ el producto semidirecto. Este será un directo producto si $\;H\lhd G\;$ como es obvio $\;H\cap K=1\;$ (¿por qué?) .

Ahora utiliza la información restante para deducir que efectivamente $\;H\lhd G\;$ y se hará.

Añadido a petición:

Usted ya sabe que $\;G=HK\;$ para que $\;\forall h'\in H\;,\;\;g=hk\in G\;,\;\;h\in H\,,\,\,k\in K:\:$

$$[h',g]=h'^{-1}g^{-1}h'g=h'^{-1}k^{-1}h^{-1}h'hk=\left[h'h^{-1}h'h\right]k^{-1}k=h'h^{-1}h'h\in H$$

y así obtenemos que

$$[H,G]\le H\iff H\lhd G$$

Asimismo, $\;K\lhd G\;$ que es lo que faltaba por mostrar para tener $\;HK\cong H\times K\;$ sin productos semidirectos y sin teoremas de Sylow.