¿Cómo probar que $\sin(x+iy) = x+iy$ tiene infinitamente muchas soluciones? Sé cómo probar que $\sin(x) = x$ tiene una única solución, pero no sé cómo extender esto al análisis complejo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El gran teorema de Picard dice que $f(z) = \sin(z)-z = c \in \Bbb C$ infinitamente a menudo para todos, pero, posiblemente, un valor de $c$. Tenga en cuenta que $f(z+2\pi) = f(z) - 2\pi$. Supongamos que algunos de los $c_0$ no se alcanza un número infinito de veces; a continuación, $c_0+2\pi$ es decir $f(z_k) = c_0+2\pi$ para algunos infinita secuencia $(z_k)$. Por lo anterior funcional de la ecuación, entonces, $f(z_k+2\pi) = c_0$, proporcionando una secuencia infinita que se asigna a $c_0$. Por lo $f^{-1}(c)$ es infinita para cada $c \in \Bbb C$; en particular, este es el caso de $c=0$ como se desee.
Tenga en cuenta que el mismo argumento muestra que para cualquier holomorphic función de $g$, con una especie de periodicidad (es decir, hay un poco de $c, d \in \Bbb C$ tal que para todo $z \in \Bbb C$, $g(z+c) = g(z)+d$), $g^{-1}(z)$ es infinita para cualquier $z \in \Bbb C$. (El gran teorema de Picard demandas que $g$ no se polinomio; pero por encima de la periodicidad del fenómeno impide que esto sea posible, para no tener infinitamente muchas raíces.)
Joe Gauterin
Puntos
9526
La siguiente es una primaria y mundano enfoque que contar/atado a las raíces de la ecuación $$\sin z = z\tag{*1}$$ el uso de liquidación número. Para cualquier $n \in \mathbb{N}$$r > 0$, vamos
- $R_n = (2n+\frac32)\pi$,
- $C_n$ ser la plaza de contorno con centro en el origen con el lado de la $2R_n$.
$S_1, S_2, S_3, S_4$ ser el siguiente $4$ segmentos de línea cuya unión es $C_n$. $$\begin{cases} S_1 &= [ -R_n - R_ni, +R_n - R_ni ]\\ S_2 &= [ +R_n - R_ni, +R_n + R_ni ]\\ S_3 &= [ +R_n + R_ni, -R_n + R_ni ]\\ S_4 &= [ -R_n + R_ni, -R_n - R_ni ] \end{casos}$$
$\Delta_{S_i}$ ser el encargado de $\;\arg(\sin z - z)\;$ a medida que nos movemos $z = x + iy$ a lo largo de el segmento de $S_i$ counter-clockwisely con respecto al origen.
$\mathcal{W}_n$ ser la liquidación número de la imagen de $\sin z - z$ con respecto al origen como $z$ mueven a lo largo de $C_n$ una vez. Por definición, es igual a la $$\mathcal{W}_n \stackrel{def}{=}\frac{\Delta_{S_1} + \Delta_{S_2} + \Delta_{S_3} + \Delta_{S_4}}{2\pi}$$
$\epsilon(r) = \sqrt{8}r e^{-r} + e^{-2r}\;$ $\;\eta(r) = \frac{r}{\cosh(r) + r}$.
Uno de los segmento de la línea de $S_1 = [-R_n-R_ni,+R_n-R_ni]$,
$$\sin z - z = \frac{1}{2} e^{ix+R_n} - e^{-ix-R_n}) - z = \frac{e^{R_n+ix}}{2}\left( 1 - 2i z e^{-(R_n+ix)} - e^{-2(R_n+ix)} \right) $$
Aviso $\displaystyle\;\left| 2i z e^{-(R_n+ix)} - e^{-2(R_n+ix)} \right| \le \epsilon(R_n) \le \epsilon(R_0) \aprox 0.1198\;$ es siempre muy pequeña, nos encontramos con $$\left|\Delta_{S_1} - 2R_n\right| \le 2\sin^{-1}\epsilon(R_n)$$
Por un argumento similar, tenemos
$$\left|\Delta_{S_3} - 2R_n\right| \le 2\sin^{-1}\epsilon(R_n)$$
En el segmento de la línea de $S_2 = [ +R_n - R_ni, +R_n + R_ni ]$,
$$\sin z - z = \sin R_n\cosh y + \cos R_n\sinh y\, i - (R_n + i y) = -( \cosh y + R_n ) + iy$$ Desde la parte real nunca cambio de signo, tenemos $$\left|\Delta_{S_2}\right| = 2\tan^{-1}\eta(R_n)$$ Por un argumento similar, tenemos
$$\left|\Delta_{S_4}\right| = 2\tan^{-1}\eta(R_n)$$
Por encima de las discusiones implica
$$ \begin{align} \left| \mathcal{W}_n - \frac{4R_n}{2\pi} \right| &\le \frac{2}{\pi}\left(\sin^{-1}\epsilon(R_n) + \tan^{-1}\eta(R_n)\right)\\ &\le \frac{2}{\pi}\left(\sin^{-1}\epsilon(R_0) + \tan^{-1}\eta(R_0)\right)\\ &\approx 0.126 \end{align} $$
Dado que tanto $\mathcal{W}_n$ $\frac{4R_n}{2\pi} = 4n+3$ son enteros, obtenemos $\mathcal{W}_n = 4n+3$.
Desde $\sin z - z$ es todo, contando multiplicidad, hay $4n+3$ raíces de $(*1)$ dentro $C_n$.
Es fácil ver
- $z = 0$ es una raíz triple para $\sin z - z$.
- no hay ningún otro raíces de $(*1)$ $x$ $y$ eje.
- Por simetría, si $z = x + iy$ es una raíz, por lo que no $\pm x \pm y i$.
Como resultado, todos los no-cero raíces de $(*1)$ son simples. Hay $4n+1$ distintas raíces en el interior de cada $C_n$.
Mark McClure
Puntos
14421
Aquí es bastante simple y geométrica intuitiva argumento basado en el siguiente teorema de punto fijo.
Lema: Vamos a $R \subset \mathbb C$ ser un rectángulo sólido y supongamos que $f:R\rightarrow\mathbb C$ es continua. Si $f(R)\supset R$, $f$ tiene un punto fijo en $R$.
Tenga en cuenta que el lema se cumple para cualquier compacto, simplemente se conecta conjunto. Es indicado para sólidos rectángulos para que sea lo más simple posible. Por un "sólido" rectángulo, nos referimos a que el interior está incluido. El lema es una consecuencia de Brower del teorema de punto fijo, a pesar de que probablemente hay una manera mucho más fácil demostrarlo.
Ahora, dado un entero positivo $n$, vamos a $x_0=2n\pi+\pi/2$, vamos a $y_0=\text{arccosh}(x_0)+1$ y deje $R$ el valor del rectángulo $$R = [x_0-\pi/2,x_0+\pi/2] \times [0,y_0].$$ Es bastante simple de parametrizar el límite de $R$ mediante la expansión $$\sin(x+iy) = \sin (x) \cosh (y)+i \cos (x) \sinh (y).$$ En particular, dado cualquier valor fijo de $y$, $\sin(x+iy)$ recorre la mitad derecha de la elipse de semi-ejes principales de la longitud de la $\cosh(y)$$\sinh(y)$. Para un gran $y$, la elipse es casi un círculo, ya que $\cosh(y)\approx\sinh(y)$, y la radio es bastante grande en comparación a la del rectángulo. Los lados izquierdo y derecho del rectángulo en el mapa en el eje imaginario. Para $n=1$, la imagen se ve así:
Como resultado, el rectángulo debe contener un punto fijo de la función seno. Como esto es cierto para cada uno de los $n$, hay infinitamente muchos puntos fijos.
También se puede obtener información más precisa sobre la ubicación de los puntos fijos. Aquí es un gráfico del punto fijo en el primer cuadrante con parte real de menos de 100.
La curva es $z(t)=\cosh(t)+it$ y los puntos fijos parecen clúster en la curva. Podemos ver por qué esto debe ser así por el nuevo examen de la expansión de la compleja función seno, pero esta vez restringido a la curva: $$\sin (\cosh (t)+i t)=\cosh (t) \sin (\cosh (t))+i \sinh (t) \cos (\cosh (t)).$$
Ahora supongamos que $t$ es elegido de manera que $\sinh(t)\cos(\cosh(t)) = t$, por lo que la función seno se conserva la parte imaginaria. Un gráfico debe convencer de que hay infinitamente muchos de esos $t$. Además, desde el $\sinh(t)$ es mucho más grande que la $t$, debemos tener la $\cos(\cosh(t)$ es muy pequeño, por lo que $\cosh(t)\approx n\pi + \pi/2$. En el caso de que $n$ es incluso, llegamos $\sin(\cosh (t))\approx 1$, de modo que la parte real es casi conservado tan bien. Por lo tanto, sería de esperar de un punto fijo cercano.
Sahas Katta
Puntos
141
Un enfoque ampliamente aplicable y primaria basado en el teorema del punto fijo de Banach se puede encontrar aquí.
