Esta respuesta tiene dos partes. La primera parte aborda (estrictamente) creciente funciones. Este parecía ser (y que resultó ser) lo que el OP pregunta fue acerca de. La segunda y más sutil parte se ocupa de la no disminución de las funciones.
El problema se refiere a $\mathbb{U}$-equivalencia de las dos funciones de$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$. Desafortunadamente, este concepto no está definido en el problema. Voy a suponer que es el ordinario de la noción que se utiliza, por ejemplo, en la definición de la ultrapower. Específicamente, deje $I$ $A$ se establece, con la $I$ no vacío, y deje $\mathbb{U}$ ser un ultrafilter en $I$. Deje $f$ $g$ funciones de$I$$A$. Vamos a decir que $f$ $g$ $\mathbb{U}$- equivalente, si el conjunto de $i$ tal que $f(i)=g(i)$ pertenece a $\mathbb{U}$ (de manera más informal, $f$ $g$ está de acuerdo en "casi en todas partes modulo $\mathbb{U}$").
Deje $\mathbb{N}$ denotar los números enteros positivos, y deje $S$ el conjunto de los enteros positivos de la forma $4k+2$. Deje $\mathbb{U}$ ser cualquier ultrafilter que ha $S$ como un elemento. Hay muchos de esos ultrafilters, countably muchos principales, y aún más no principales. Vamos a demostrar que no es un bijective función de $f$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$que es
no $\mathbb{U}$-equivalente a cualquier función creciente.
Si $n$ es un entero positivo impar, vamos a $f(n)=2n$. Si $n$ es congruente a $2$ modulo $4$, vamos a $f(n)=n/2$. Por último, si $n$ es un número entero positivo divisible por $4$, vamos a $f(n)=n$. Está claro que $f$ es un bijection, todo lo que hace es intercambiar, por ejemplo, $1$ y $2$, $3$ y $6$, y así sucesivamente. Vamos a mostrar que no puede ser una función creciente $g$ tal que $f$ $\mathbb{U}$- equivalente a $g$.
Para suponer que $g$ $\mathbb{U}$- equivalente a $f$. Entonces hay un número $s$ de la forma $4k+2$ tal que $g(s)=f(s)=s/2<s$. Esto es imposible: cualquier (estrictamente) creciente en función $g$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$tiene la propiedad de que $g(n) \ge n$ todos los $n$. Esto es obvio: si $g(a)<a$, no hay suficiente espacio debajo de $g(a)$$g(i)$$i<a$.
Adenda No ha habido algunos de ida y vuelta sobre el significado de la función creciente, con joriki, en particular, interpretando el término en el sentido de lo que, en los cursos de análisis matemático, que a menudo llamamos no-decreciente (y lo que algunas personas llaman débilmente creciente). Después de un tiempo, el OP aclaró que él se refería estrictamente creciente. Pero esto deja una posibilidad interesante pregunta: Si $\mathbb{U}$ es un no-director de ultrafilter en $\mathbb{N}$, es necesariamente cierto que cada función inyectiva de a $\mathbb{N}$ a
$\mathbb{N}$ $\mathbb{U}$- equivalente a un no-disminución de la función?
Voy a demostrar que la respuesta es no. El contraejemplo es un poco más complicado que el primitivo contraejemplos que me produce en respuesta a la OP.
Definición: Un no-director de ultrafilter $\mathbb{U}$ $\mathbb{N}$ $q$- punto si para cada partición de $\mathbb{N}$ como una unión finita de conjuntos de $A_n$, hay un elemento $X$ $\mathbb{U}$ tal que $X$ cumple con cada una de las $A_n$ en más de un punto.
Alternativamente, un ultrafilter se llama raras. Y son raros! No es difícil demostrar en ZFC que hay (mucha) ultrafilters que no $q$-puntos. Esto es consistente con ZFC que hay no $q$-puntos.
A partir de ahora, supongamos que la no-director de ultrafilter $\mathbb{U}$ no $q$-punto. Nos muestran que en ese caso "normal" no es una función $f$ no $\mathbb{U}$-equivalente a un no-función decreciente.
Desde $\mathbb{U}$ no es un $q$-punto, hay una partición de
$\mathbb{N}$ en conjuntos finitos $A_n$ tal que no es $X$ en el ultrafilter que cumple cada una de las $A_n$ en más de un punto. Uno puede pensar de esta partición como un testimonio de que el ultrafilter no es rara.
Deje $A$ ser un "típico" $A_n$ (estoy haciendo esto para evitar una multiplicidad de subíndices). Lista de los elementos de $A$ en orden creciente, como $a_0, a_1, \dots,a_k$. Definir la función de $f$$A$$f(a_i)=a_{k-i}$. Por lo tanto $f$ invierte el orden en $A$. Haga esto para todos los $A_n$. Ahora tenemos una función inyectiva $f$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$. Vamos a mostrar que el $f$ no puede ser $\mathbb{U}$-equivalente a un no-función decreciente.
Supongamos que al contrario que $g$ es una función de este tipo, y el elemento $X$ de la ultrafilter es el conjunto en el que $f$ $g$ está de acuerdo. Para cualquier $A_n$, nos muestran que la $X \cap A_n$ tiene más de un elemento. Esto es obvio: si $s$$t$$A_n$, e $s<t$,$f(s)>f(t)$.
