$\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r)$ Buscando un error en el signo menos

Question

Considere la siguiente figura

donde $R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ es el módulo del $\mathbf{R}$ vector depende no sólo de la ubicación del $P$ punto, sino también en la ubicación $P'$ donde el $dV'$ se encuentra el volumen (fijo una vez localizado en el volumen $\mathcal{V}$ ). Obviamente, si se cambia $P'=(x',y',z')$ también cambiará $\mathbf{R}$ . Dado que el potencial \begin{equation} \psi(\mathbf{r})=-G\iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho(x',y',z')dx'dy'dz'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \end{equation}

calculamos el gradiente de la cantidad

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}_{(\mathbf r)}\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|} \end{equation}

Calculando, respectivamente, las derivadas parciales $\partial_x=\partial/\partial x$ , $\partial_y=\partial/\partial y$ y $\partial_z=\partial/\partial z$ en comparación con la función $1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ Tendremos

\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} & = \frac{\partial}{\partial x}\left((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right)^{-\frac 12}= && \\ &=\left(-\frac 12\right)\Bigl[\ldots\ldots\Bigr]^{-\frac32}\cdot 2\cdot (x-x')= && \\ &=-\frac{x-x'}{R^3} && \\ \end{align*}

Asimismo, $$\frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}=-\frac{y-y'}{R^3}$$ $$\frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}=-\frac{z-z'}{R^3}$$

Por lo tanto,

$$ \boldsymbol{\nabla}_{(\mathbf r)}\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}=-\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}. $$ de la cual

\begin{align} \boldsymbol{\nabla}_{(\mathbf{r})}\psi(\mathbf{r}) & = {\mathbf \nabla}_{(\mathbf{r})}\left(-G\iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right) = && \tag{*}\\ &= -G\iiint_{\mathcal{V}}\left( {\mathbf \nabla}_{(\mathbf{r})}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz'= && \\ &= -G\iiint_{\mathcal{V}} \left(-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\right)\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz' = && \nonumber\\ &= G\iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho(x',y',z') \, dx'dy'dz'}{R^2}\,\mathbf{\widehat R}=\mathbf{g}(\mathbf{r}) && \nonumber\\ \nonumber \end{align}

Lo pido con tanta amabilidad, considerando que tengo que probar que $\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r)$ No he podido encontrar el error de un signo menos que falta en los distintos pasos del $(^*)$ .

Espero que aprecien mi esfuerzo y que mi pregunta sea clara.

Answer 1

La expresión para el campo gravitatorio inducido por el conjunto de masas $P'$ en el punto P se lee

$\mathbf{g}(\mathbf{r})=G\iiint_{\mathcal{V}} \left(-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\right)\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz'$ .

Esto resuelve el problema de los signos, como puede verse fácilmente en la línea 3 de (*). Si el signo menos de la expresión no estuviera ahí, el campo gravitatorio estaría apuntando en la dirección de $\mathbf{R}$ lo que haría que la fuerza fuera repulsiva, en lugar de atractiva, como es la gravedad hasta ahora.