subconjunto denso contable de R^k

Question

Esta es una pregunta de los Principios de Rudin. Capítulo 2, pregunta 22.

La pregunta dice: "Un espacio métrico se llama $separable$ si contiene un subconjunto denso contable. Demuestre que $\mathbb{R}^k$ es separable. Pista: Considera el conjunto de puntos que sólo tienen coordenadas racionales".

La respuesta comienza con: "Necesitamos demostrar que todo subconjunto abierto no vacío $E$ de $\mathbb{R}^k$ contiene un punto con todas las coordenadas racionales" y luego hace precisamente eso, pero no estoy seguro de cómo eso aborda lo que la pregunta está pidiendo.

Conozco la definición de subconjunto denso. Para un espacio métrico $X$ y $E\subset{X}$ , $E$ es denso en $X$ si cada punto de $X$ es un punto de $E$ o un punto límite de $E$ (o ambos).

Y sé que decir que un conjunto es contable significa que el conjunto tiene la misma cardinalidad que los números naturales o, en otras palabras, que puede ponerse en correspondencia uno a uno con los naturales.

Combinar las dos definiciones para obtener la definición de subconjunto denso contable es bastante sencillo.

Y entiendo que los racionales son contables. También entiendo que los racionales son densos en $\mathbb{R}$ lo que implica que $\mathbb{Q}^k$ es denso en $\mathbb{R}^k$ .

Pero no sé cómo demostrar que "todo subconjunto abierto no vacío $E$ de $\mathbb{R}^k$ contiene un punto con todas las coordenadas racionales" demuestra que $\mathbb{R}^k$ tiene un subconjunto denso contable.

¿Qué me estoy perdiendo aquí?

¿Hay alguna otra forma de demostrarlo?

Answer 1

Es un resultado general en topología que dada una colección finita de espacios topológicos $\{A_i\}_{i=1}^n$ , si $A=\prod_{i=1}^nA_i$ entonces

$$\overline{A}=\prod_{i=1}^n\overline{A_i}\;.$$

Ya sabemos que $\overline {\mathbb Q} = \mathbb R$ Así que $\overline {\mathbb Q^k} = \mathbb R^k$ . Por lo tanto, $\mathbb R^k$ es separable.