Distancia más corta entre la elipse y una línea

Question

Estaba tratando de encontrar la distancia más corta entre la elipse

$$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$

y la línea $x+y=4$ . Tenemos que encontrar el punto de la elipse donde su línea tangente es paralela a $x+y=4$ y encontrar la distancia entre esos dos puntos. Sin embargo, cuando he utilizado la diferenciación implícita, obtengo

$$\frac{x}{2} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{4y}$$

Si está en paralelo a $x+y=4$ , entonces necesitamos $x=4y$ . ¿Lo meto en la ecuación de la elipse y lo resuelvo y calculo la distancia entre el punto y una recta o lo estoy haciendo mal? Sólo quería aclararlo. Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

Cualquier punto de la elipse puede representarse como $\displaystyle P(2\cos\phi,\sin\phi)$

Por lo tanto, si $s$ es la distancia de $P$ de la línea dada es $$s=\frac{|2\cos\phi+\sin\phi-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}$$

Por lo tanto, necesitamos minimizar $\displaystyle|2\cos\phi+\sin\phi-4|$

Podemos conseguirlo de la siguiente manera Prueba de la segunda derivada .

En caso contrario, la fijación de $\displaystyle2=r\cos\psi,1=r\sin\psi\implies \tan\psi=2$ y $r=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$

$\displaystyle2\cos\phi+\sin\phi=\sqrt5\sin\left(\phi+\arctan2\right)$

$\displaystyle\implies-\sqrt5\le2\cos\phi+\sin\phi\le\sqrt5$

$\displaystyle\implies-\sqrt5-4\le2\cos\phi+\sin\phi-4\le\sqrt5-4$

$\displaystyle\implies\sqrt5+4\ge4-2\cos\phi-\sin\phi\ge4-\sqrt5$

$\displaystyle\implies\sqrt5+4\ge|4-2\cos\phi-\sin\phi|\ge4-\sqrt5$

$\displaystyle\implies\sqrt5+4\ge|2\cos\phi+\sin\phi-4|\ge4-\sqrt5$

$\displaystyle\implies\frac{\sqrt5+4}{\sqrt2}\ge s\ge\frac{4-\sqrt5}{\sqrt2}$