Distancia más corta entre la elipse y una línea

Question

Estaba tratando de encontrar la distancia más corta entre la elipse

$$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$

y la línea $x+y=4$ . Tenemos que encontrar el punto de la elipse donde su línea tangente es paralela a $x+y=4$ y encontrar la distancia entre esos dos puntos. Sin embargo, cuando he utilizado la diferenciación implícita, obtengo

$$\frac{x}{2} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{4y}$$

Si está en paralelo a $x+y=4$ , entonces necesitamos $x=4y$ . ¿Lo meto en la ecuación de la elipse y lo resuelvo y calculo la distancia entre el punto y una recta o lo estoy haciendo mal? Sólo quería aclararlo. Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

Si $F(x,y) \equiv \frac{1}{4}x^2 + y^2$ entonces $\nabla F = (\frac{1}{2}x, 2y)$ es ortogonal a las curvas de constante $F$ y por tanto ortogonal a la elipse cuando $(x,y)$ está en la elipse. También haga $\nabla F$ ortogonal a la línea dada, por lo que $(\frac{1}{2}x, 2y)\cdot (1, -1) = 0$ da $y = \frac{1}{4}x$ .

Answer 2

Otra, espero que correcta en lo básico, insinúa:

Se quiere minimizar la función de distancia

$$\frac{|x+y-2|}{\sqrt2}\;\;<--\;\;\text{distance of a point to line}\;\;x+y-4=0$$

sujeto a la restricción

$$\frac12x^2+y^2-1=0$$

Dicho de este modo, ¡ya no nos importa si la línea interseca o no la elipse! Ahora proceda como de costumbre.

Answer 3

En realidad, sólo hay que reescribir la función de la elipse como $y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$ la parte de la mitad superior. $k=\frac{dy}{dx}=\frac{-\frac{x}{2}}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}$ , por lo tanto, el punto $({x_0},{y_0})$ en la elipse y $\frac{-\frac{x_0}{2}}{2\sqrt{1-\frac{x_0^2}{4}}}=-1$ , resolviendo , tenemos $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$ (no está satisfecho). Así que.., $x_0=\sqrt{2}$ y por la ecuación de la elipse, tenemos $y_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . LA DISTANCIA ENTRE EL PUNTO $({x_0},{y_0})$ A UNA LÍNEA $x+y=4$ ES TRIVIAL. ESPERO QUE SEA ÚTIL.

Answer 4

Una solución más sencilla: Escalar el eje horizontal de forma que $u=\frac{x}{2}$ . Entonces, la ecuación de la elipse se convierte en $$u^2+y^2=1$$ Asimismo, la ecuación de la línea se convierte en: $$2u+y=4$$ Ahora simplemente debemos encontrar la distancia más cercana entre esa línea y el círculo unitario. Esto se puede hacer con bastante facilidad utilizando la geometría analítica. Primero hay que encontrar la ecuación de una recta que pase por el origen y sea perpendicular a la otra recta: $$y=\frac{1}{2}u$$ Ahora encuentra el punto de intersección de las dos líneas. Es decir, resuelve el sistema: $$2u+y=4$$ $$y=\frac{1}{2}u$$ Las soluciones son $u=\frac{8}{5}$ y $y=\frac{4}{5}$ . La segunda línea intercepta el círculo unitario en $u=\frac{2}{\sqrt{5}}$ y $y=\frac{1}{\sqrt{5}}$ (ni siquiera hace falta la trigonometría, sino que hay que hacer una simple sustitución). Así que la distancia más corta entre el círculo y la línea es la distancia entre $(\frac{8}{5},\frac{4}{5})$ y $(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$ . Si reescalamos nuestro plano de coordenadas sustituyendo: $u=\frac{x}{2}$ entonces encontraremos que la distancia más corta entre nuestra elipse y la línea es simplemente la distancia entre $(\frac{16}{5},\frac{4}{5})$ y $(\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$ . Esto viene dado simplemente por: $$\sqrt{\Big(\frac{16}{5}-\frac{4}{\sqrt{5}}\Big)^2+\Big(\frac{4}{5}-\frac{1}{\sqrt{5}}\Big)^2}=\boxed{\frac{\sqrt{17(21-8\sqrt{5})}}{5}}$$ No es necesario hacer cálculos.

Answer 5

Tal vez pueda probar la diferenciación explícita. De la ecuación de la elipse: $$y=\sqrt{1-\frac{x^2}4}$$ así que $$y'=\frac{-x}{4\sqrt{1-\frac{x^2}4}}$$

(Si se visualiza la elipse y la línea, está claro que el punto que se busca está en la mitad superior de la elipse).

Luego busca el punto donde esta derivada es igual a la pendiente de la recta:

$$\frac{-x}{4\sqrt{1-\frac{x^2}4}}=-1$$

Entonces resuelve esta ecuación y ya está hecho.

Como alternativa, puedes resolver el sistema: $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x^2}4+y^2&=&1\\ x+y&=&k \end{array} \right.$$

Cuando se obtiene un discriminante que depende de $k$ Debe ser $0$ . Encuentre $k$ y luego el punto donde la línea toca la elipse. Obtendrás dos valores para $k$ : debe tomar la mayor, ya que la línea está "por encima" de la elipse.