Si $f: V \to W$ es un homomorfismo suryente de espacios vectoriales, y hemos fijado una base para $V$ siempre es posible encontrar una base para $W$ tal que la matriz asociada a $\phi$ en las dos bases es triangular con unos en la "diagonal" (lo que quiero decir con esto se explica con más precisión más adelante, en el caso de los grupos abelianos), hasta la posible permutación de la base elegida de $V$ . Esto motiva la siguiente pregunta, en el ámbito de los grupos abelianos finitos.
Dejemos que $H$ sea un grupo abeliano finito con una base fija $h_1, \ldots, h_n$ con "base" nos referimos aquí a los elementos que satisfacen la propiedad $\langle h_1 \rangle \oplus \ldots \oplus \langle h_n \rangle=H$ . Sea $\phi:H \to G$ sea un homomorfismo de grupos abelianos finitos. Supongamos que $\phi$ es suryente, por lo que $\phi(h_1), \ldots, \phi(h_n)$ generar $G$ .
¿Es posible encontrar una base para $G$ y una permutación de los elementos $h_1, \ldots, h_n$ , tal que la matriz asociada a $\phi$ en las dos bases dadas tiene una forma triangular con $1$ ¿en la diagonal?
Más concretamente, ¿podemos encontrar una base $g_1, \ldots, g_m$ para $G$ con $m \leq n$ y una permutación $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ de manera que podamos escribir
$\phi(h_{\sigma(i)}) = a_{i,1} g_1 + \ldots+ a_{i,m} g_m$
con $a_{i,j}=0$ cuando $j>i$ y $a_{i,i}=1$ ?
(Hice una pregunta similar en math.stackexchange, pero la escribí de forma diferente y de manera tonta/equivocada para que la respuesta en ese caso fuera trivial)
