$$\lim_{x\to0}{\frac{e^x-1}{x}}$$
Determiné el límite graficando esto y viendo que la gráfica se acerca a 1 a medida que x se acerca a 0. Pero, ¿hay alguna manera de determinar algebraicamente este límite?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mhenni Benghorbal
Puntos
1
Ningún límite puede ser realmente calculado mediante un gráfico; no es difícil presentar ejemplos en los que $f(x)$ parece estar cerca de $1$ cuando $10^{-n-1}<x<10^{-n}$ (arreglado) $n$ a voluntad) pero el límite es $0$ . Cuando era estudiante, las preguntas sobre límites en los exámenes de Cálculo para los estudiantes de Ingeniería eran siempre de este tipo, por lo que no podían hacer la prueba con sus calculadoras de bolsillo.
El cálculo de su límite depende de cómo haya definido las cosas. Es equivalente a determinar la derivada de la función exponencial $x\mapsto e^x$ porque $$ \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}= \lim_{h\to0}\frac{e^{x}e^{h}-e^x}{h}= \lim_{h\to0}e^x\frac{e^{h}-1}{h}= e^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h} $$
Así que, si ya conoces esta derivada (puede que sí, dependiendo de cómo hayas definido la función exponencial), sabrás que la respuesta es $1$ .
Si no es así, establece $e^x-1=1/z$ para que $x=\log(1+1/z)$ Cuando $x$ se acerca a $0$ de la derecha, $z$ se acerca al infinito, por lo que su límite se convierte en $$ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{z\to\infty}\frac{1/z}{\log(1+1/z)} $$ Calculemos el límite del recíproco: $$ \lim_{z\to\infty}\frac{\log(1+1/z)}{1/z}= \log\lim_{z\to\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^z=\log e=1 $$ Del mismo modo, se puede calcular el límite para $x\to0^-$ . En conclusión, depende de las herramientas de que dispongas y no se puede dar una respuesta definitiva si no mencionas cuáles son esas herramientas.
