Ordenación normal del operador de identidad

Question

Estoy desconcertado sobre cuál debería ser la ordenación normal del operador identidad (o de cualquier operador proporcional):

• Mirándolo desde el "punto de vista de los operadores del espacio de Fock", la prescripción es mover todos los operadores de creación a la izquierda y los aniquiladores a la derecha, pero la identidad, por definición, no es ninguno de ellos, por lo que debería ser invariante a la izquierda.

Pero me encuentro con varias contracciones:

• La ordenación normal de cualquier operador debe tener un vev evanescente, por lo que $$<\, : \mathbb{I} :\, > = 0 \ne\, < \mathbb{I}>$$

• utilizando el conmutador entre el $a$ y $a^{\dagger}$ : $$:aa^{\dagger}: \, = \,a^{\dagger}a =\, :a^{\dagger}a + \mathbb{I}: = \,a^{\dagger}a + :\mathbb{I}:$$ donde he utilizado el conmutador para pasar del primero al tercero y la ordenación normal en caso contrario. La identificación de la segunda y la cuarta me da de nuevo $\,:\mathbb{I}:\,\, = 0$ .

• por último el vev de la exponencial de cualquier operador debe ser cero ( $<:e^{A}:>\, = 0$ ), expandiendo la exponencial me da de nuevo $<\,:\mathbb{I}:\,>\, = 0$ .

¿Es este el resultado final o hay más sutilezas?

Answer 1

Comentarios a la pregunta:

1. Bajo el símbolo de ordenación (como, por ejemplo pedido normal $:\ldots:$ , pedido de tiempo $T(\ldots)$ , ordenación radial ${\cal R}(\ldots)$ etc) todos los operadores (super)conmutan, por ejemplo $$ : \hat{A}\hat{B}: ~=~ (-1)^{|\hat{A}||\hat{B}|}: \hat{B}\hat{A}:, $$ incluso si el (super)conmutador $[\hat{A},\hat{B}]\neq 0$ es no evanescente.

2. Ordenación de un único operador elemental (=no compuesto) (como, por ejemplo $\hat{a}$ , $\hat{a}^{\dagger}$ , ${\bf 1}$ etc.) es superfluo.

Answer 2

Puede comprobar mi respuesta a un post relacionado que da una definición axiomática del orden normal como una función definida en el álgebra libre generada por los operadores de creación y aniquilación. Según esta formulación ${:}1{:} = 1$ . Allí también se explica cómo se resuelven las paradojas relacionadas con el orden normal. La afirmación "el valor de la expectativa del orden normal de cualquier operador (incluida la identidad) en el vacío es cero" es falsa según esta formulación. Esto es consistente con la Ecuación (82) en el conocido artículo "Bosonización para principiantes y - refermionazación para expertos" de Delf y Schöller [Ann. Phys. 7 225 (1998)], lo que implica $\langle{:}e^{i\phi}{:}\rangle = 1$ .