Puntos de una variedad definida por descenso de Galois

Question

Sea k un campo perfecto. Por una k-variedad, entenderé un esquema separado geométricamente reducido de tipo finito sobre k. Creo que es condición suficiente que los siguientes datos determinen una k-variedad afín:

1. Un subconjunto $X(\bar{k})$ de $\bar{k}^n$ que está definida por los polinomios
2. Una acción continua de $\mathop{\mathrm{Gal}}(\bar{k}/k)$ en $X(\bar{k})$ , de tal manera que cada $\sigma \in \mathop{\mathrm{Gal}}(\bar{k}/k)$ actúa como $\sigma \circ f$ donde f es una $\bar{k}$ -Mapa regular

Cuando digo que estos datos determinan una k-variedad afín, quiero decir que existe una única k-variedad afín X cuya $\bar{k}$ -los puntos son $X(\bar{k})$ con la acción de Galois correcta.

Dados estos datos, quiero elaborar el functor de puntos de X (que considero que tiene dominio la categoría de k-álgebras). Puedes hacerlo siguiendo la prueba de que estos datos determinan una k-variedad: primero construye el anillo de coordenadas A de X, como los puntos fijos de Galois del anillo de funciones regulares $X(\bar{k}) \to \bar{k}$ Entonces $X(R) = \mathop{\mathrm{Hom}}(A, R)$ para cualquier k-álgebra R.

Pero si L es una extensión algebraica de k, hay una forma mucho más sencilla de calcular los puntos L de X: basta con tomar el subconjunto de $X(\bar{k})$ arreglado por $\mathop{\mathrm{Gal}}(\bar{k}/L)$ .

Si L es una extensión trascendental de k (o incluso una k-álgebra que no es un campo), ¿existe una forma directa de escribir los puntos L de X que no requiera pasar por el anillo de coordenadas (o, esencialmente, de forma equivalente, pasar por las ecuaciones de definición de X)?

Answer 1

Lo siguiente parece dar una respuesta afirmativa razonable que evita calcular el anillo de coordenadas directamente, y sustituye la condición (2) por la condición más natural de que el subconjunto $\Sigma := X(\overline{k})$ en (1) es estable bajo la acción del grupo de Galois sobre $\overline{k}^n$ .

Seamos más limpios trabajando de forma más general sobre un campo arbitrario (no necesariamente perfecto) $k$ y con subesquemas cerrados geométricamente reducidos $X$ en un fijo separado $k$ -sistema $Y$ localmente de tipo finito. (Nota: ahora los esquemas afines han desaparecido; pueden tomar $Y$ para ser un espacio afín, pero esto es irrelevante). El ${\rm{Gal}}(k_s/k)$ -conjunto estable $\Sigma = X(k_s)$ en $Y(k_s)$ recupera $X$ como sigue. Para un $k$ -Álgebra $A$ , $X(A)$ es el ${\rm{Gal}}(k_s/k)$ -invariantes en $X(A_{k_s})$ Así que sólo tenemos que describir $X(A_{k_s})$ como ${\rm{Gal}}(k_s/k)$ -subconjunto estable de $Y(A_{k_s})$ . La descripción en este último caso será en términos de $\Sigma$ y el ${\rm{Gal}}(k_s/k)$ -estabilidad de $\Sigma$ dentro de $Y(k_s)$ se asegurará de que la descripción que damos para $X(A_{k_s})$ es ${\rm{Gal}}(k_s/k)$ -estable dentro de $Y(A_{k_s})$ . Una vez anotado esto, cambiamos el nombre de $k_s$ como $k$ para que $k$ es separablemente cerrado y $\Sigma$ es simplemente un conjunto de $k$ -puntos racionales de $Y$ (por lo que la notación es ahora marginalmente más limpia).

Primero asuma $A$ se reduce geométricamente en el sentido de que $A_K$ se reduce para cualquier campo de extensión $K/k$ . Desde $X(A)$ es el límite directo (dentro de $Y(A)$ ) del $X(A_i)$ como $A_i$ varía a través de $k$ -subálgebras de tipo finito en $A$ (todos ellos reducidos geométricamente), podemos suponer $A$ está generada finitamente sobre $k$ . Entonces el $k$ -son densos de Zariski (como $k = k_s$ ) y por lo tanto la condición de $y \in Y(A)$ que se encuentra en $X(A)$ es que $y(\xi) \in \Sigma$ para todos $k$ -señala $\xi$ de $A$ . Eso describe $X(A)$ para cualquier (posiblemente no generado finitamente) $k$ -Álgebra $A$ que se reduce geométricamente. En general, para comprobar si $y \in Y(A)$ se encuentra en $X(A)$ equivale a lo mismo para cada anillo local de $A$ , por lo que podemos suponer $A$ es local. Entonces la condición para $y$ para estar en $X(A)$ es exactamente que existe un mapa local de $k$ -algebras $B \rightarrow A$ con $B$ reducido geométricamente de forma que $y$ es a imagen y semejanza de $X(B)$ bajo el mapa inducido $Y(B) \rightarrow Y(A)$ . No pretendo que esta formulación sea la mejor manera de pensarlo, pero "funciona".

Por supuesto, se puede aplicar este proceso a cualquier ${\rm{Gal}}(k_s/k)$ -subconjunto estable $\Sigma$ de $Y(k_s)$ siempre y cuando sustituyamos primero $\Sigma$ con el conjunto de $k_s$ -puntos de su cierre de Zariski en $Y_{k_s}$ . Entonces sólo obtenemos el descenso de Galois $X$ del cierre de Zariski en $Y_{k_s}$ de $\Sigma$ . En general $X(k_s)$ puede ser mayor que $\Sigma$ pero no obstante $\Sigma$ es densamente Zariski en $X_{k_s}$ . Esto es perfectamente interesante en la práctica, independientemente de que $\Sigma$ es igual a $X_{k_s}$ ya que es lo que subyace a la construcción de grupos derivados, subgrupos conmutadores, imágenes, órbitas y cosas relacionadas en la teoría de grupos algebraicos lineales sobre un campo general. Por ejemplo, el $k$ -grupo ${\rm{PGL}}_n$ es su propio grupo derivado en el sentido de los grupos algebraicos, pero el subgrupo conmutador de ${\rm{PGL}}_n(k_s)$ es un subgrupo propio siempre que $k$ es imperfecto y ${\rm{char}}(k)|n$ .

Para dar una aplicación ingeniosa, supongamos que se comienza con un subesquema cerrado arbitrario $X'$ en $Y$ (como $X' = Y$ ), entonces forma el ${\rm{Gal}}(k_s/k)$ -conjunto estable $X'(k_s)$ (que bien podría estar vacía, o de alguna manera muy pequeña), y luego aplica el procedimiento anterior para obtener un subesquema cerrado geométricamente reducido $X$ en $X'$ . ¿Qué es? Es el máximo subesquema cerrado geométricamente reducido de $X'$ y se puede comprobar que su formación es compatible con los productos (así como con las extensiones separables $K/k$ como las terminaciones $k_v/k$ para un campo global $k$ ). Si $k$ es perfecto entonces $X = X'_{\rm{red}}$ , por lo que esto es más interesante cuando $k$ es imperfecto. Es especialmente interesante en el caso especial de que $X'$ está dotado de una estructura de $k$ -esquema de grupo. Entonces $X$ es su máximo liso cerrado $k$ -subgrupo, ya que la reducción geométrica $k$ -Los grupos locales de tipo finito son suaves. ¿Y qué? Si uno se enfrenta a la tarea de estudiar el conjunto Tate-Shararevich para tal $X'$ (por ejemplo, tal vez $X'$ es un esquema de automorfismo desagradable de algo bonito) entonces todo lo que realmente interviene es $X$ ya que captura todos los puntos locales, por lo que para algunos propósitos podemos reemplazar el posiblemente malo $X'$ con el suave $X$ . (Este truco se utiliza en la demostración de la finitud de los conjuntos de Tate-Shafarevich para grupos afines arbitrarios de tipo finito sobre campos de funciones globales). Pero cuidado: si el $k$ -grupo $X'$ está conectado (y $k$ es imperfecto) entonces $X$ puede estar desconectada y tener una dimensión mucho menor; véase la Observación C.4.2 en el libro "Grupos pseudorreductores" para un ejemplo.

Answer 2

A pesar de lo que se aprende en las clases de lógica, es cierto que no se puede demostrar una negativa. Es decir, es mucho más difícil explicar por qué algo no puede funcionar necesariamente que por qué sí. (Uno se conforma casi siempre con: "no puede funcionar bajo las siguientes condiciones explícitas, más posiblemente otras que he dejado implícitas").

Con esta salvedad, mi respuesta preliminar es no . Los datos del anillo de coordenadas son, por supuesto, equivalentes a los del conjunto de polinomios $\{P_i\}$ en (1). Por tanto, tu pregunta me suena a preguntar: ¿hay alguna manera de prescindir de la condición (1)? Por supuesto que no: que el conjunto sea invariante de Galois no significa que tenga ningún tipo de estructura algebraica (por ejemplo, tomar $k = \overline{k}$ y sólo decimos que no cualquier subconjunto del espacio afín define una variedad afín).

Por otra parte, no veo ningún atajo en torno a utilizar realmente los datos de (1) y (2) para calcular el anillo de coordenadas. Se trata de un argumento muy básico de descenso de Galois que implica a Hilbert 90 aplicado al ideal de $\overline{k}[x_1,\ldots,x_n]$ definido a través de (1).