Reducción de una señal de dos términos a un término

Question

Estoy tratando de resolver un problema de adición de fasores, reduciendo de su forma original a $$X(t) = A \cos(\omega_0 * t + \phi)$$

La ecuación original es : $$X(t) = 2 \sin(\omega_0 * t + 45) + \cos(\omega_0*t)$$

He convertido el término del seno en coseno. El resultado que obtuve fue $$X(t) = 2 \cos(\pi/2 - \omega_0*t - \pi/4) + \cos(\omega_0*t) $$ Lo que se reduce a : $$X(t) = 2 \cos(\pi/4 - \omega_0*t) + \cos(\omega_0*t) $$ Hasta aquí verifico en MATLAB que la función original y la función en cosenos son iguales graficándolas y luego llamando al $norm()$ y verificar que es algo muy cercano a 0. http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/norm.html

A continuación, realizo el proceso de adición de fasores. $X(t) = Re(2e^{j(\pi/4)}e^{j\omega_0 t})+Re(e^{j0}e^{j\omega_0 t})$

$$X_1= 2e^{j(\pi/4)} = 2(cos(\pi/4) + jsin(\pi/4)) = 2(\frac{\sqrt2}2+j\frac{\sqrt2}2) = \sqrt2 + j\sqrt2$$ $$X_2 = e^{j0} = cos0 + jsin0 = 1$$ $$X_3 = X_1 + X_2 = \sqrt2 + j\sqrt2 + 1 = 2.41421 + j1.41421$$ Para volver a convertirlo en la forma declarada de $X(t) = A \cos(\omega_0 * t + \phi)$ encuentro el $R$ $$R = \sqrt{2.41421^2 + 1.41421^2} = 2.79793$$ $$\theta = arctan(1.41421/2.41421) = .529902$$

El resultado final es $X(t) = 2.79793\cos(\omega_0 t + .529902) $

Luego voy a MATLAB para graficar la señal original y la señal reducida que encontré pero cuando llamo al $norm(originalSignal - reducedSignal)$ Obtengo un número mucho mayor que 0.

Estoy tratando de averiguar por qué esto está devolviendo un número tan alto. Algunas de mis conjeturas son el negativo $-\omega_0 t$ en el primer término de la función cuando convierto el seno en coseno $X(t) = 2 \cos(\pi/2 - \omega_0 t - \pi/4) + \cos(\omega_0 t) $ No sé si el proceso cambia para una situación así. Los problemas en los que he trabajado y he obtenido la respuesta correcta siempre parecen tener el $\omega_0 t$ como parte positiva dentro del término del coseno.

A continuación se muestra el código de Matlab.

t = [0 : .01 : 1];
originalWave = 2*sin(50 *t + pi/4) + cos(50*t);
reducedWave = 2.79793*cos(50*t+.529902);

subplot(2,1,1)
plot(t, originalWave)
subplot(2,1,2)
plot(t, reducedWave)

norm(originalWave - reducedWave)

¿Alguna idea sobre lo que podría estar mal en mi proceso o respuesta?

Agradezco cualquier consejo o ayuda. Gracias.

Answer 1

No utilizo Matlab y, por tanto, he realizado mis cálculos a mano.

Planteo el problema como dos ecuaciones para dos incógnitas ( $A$ y $\phi$ ) y seleccioné dos puntos arbitrarios para definir las ecuaciones, denominados $t=0$ y $t=\frac{\pi }{2 \omega }$ .

Así he encontrado dos soluciones que vienen dadas por
$$A=3 \sqrt{\frac{2}{17} \left(7+4 \sqrt{2}\right)}-\sqrt{\frac{1}{17} \left(7+4 \sqrt{2}\right)}=2.797932652$$ $$\phi=-\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{17} \left(7+4 \sqrt{2}\right)}\right)=-0.5299027897$$ y $$A=\frac{1}{17} \left(\sqrt{17 \left(7+4 \sqrt{2}\right)}-3 \sqrt{34 \left(7+4 \sqrt{2}\right)}\right)=-2.797932652$$ $$\phi=\cos ^{-1}\left(-\sqrt{\frac{1}{17} \left(7+4 \sqrt{2}\right)}\right)=2.611689864$$

Por lo tanto, estoy de acuerdo con sus números, excepto por el signo de $\phi$ .

Al trazar las diferencias de las funciones originales y modificadas, sus valores absolutos difieren en menos de $5 \cdot 10^{-15}$ que es casi la precisión de la máquina para mi compilador.

Answer 2

Sólo cometiste un error de signo en tu cálculo, eso es todo. La forma exponencial compleja de $2 \cos( \pi / 4 − \omega_0 t )$ es $\operatorname{Re} \left( 2 e^{j\pi/4} e^{-j\omega_0 t} \right)$ . Sin embargo, como $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ tenemos $2 \cos( \pi / 4 − \omega_0 t ) = 2 \cos( \omega_0 t -\pi/4) = \operatorname{Re} \left( 2 e^{-j\pi/4} e^{j\omega_0 t} \right)$ .

La diferencia que esto supone en la respuesta final es que se termina con una fase de $-0.529902$ en lugar de $+0.529902$ . La fijación de esto le dará un error total al cuadrado (es decir, norm( originalWave - reducedWave, 2 ).^2 ) del orden de $6 \cdot 10^{-10}$ que es atribuible a la precisión de sus cálculos.