¿Es cierto que $\ln(\ln(\frac{1}{1-x}))=\sum_{p\text{ prime}}^{\infty}\frac{x^p}{p}$ ?

Question

Creo que puedo explicar mejor la pregunta primero visualmente como la siguiente tabla \begin{array}{|c|c|} \hline \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty & \sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p}=\infty\\ \hline \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\ln(\infty)+\gamma & \sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p}=\ln(\ln(\infty))+M\\ \hline \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=\ln(\frac{1}{1-x}) & ¿\sum_{p\text{ prime}}\frac{x^p}{p}=\ln(\ln(\frac{1}{1-x}))?\\ \hline \end{array} Por lo que tengo entendido $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty$ del hecho de que $\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\lim_{N\to\infty}\ln(N)+\gamma$ pero también de evaluar en x=1 la serie polinómica $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=\ln(\frac{1}{1-x})$ .

Asimismo, $\sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p}=\infty$ del hecho de que $\lim_{N\to\infty}\sum_{p \text{ prime}}^{N}\frac{1}{p}=\lim_{N\to\infty}\ln(\ln(N))+M$ pero también (si fuera cierto) de evaluar en x=1 la serie polinómica $\sum_{p\text{ prime}}\frac{x^p}{p}=\ln(\ln(\frac{1}{1-x}))$ .

No sé si la comparación es demasiado ingenua o si se puede justificar, lo busqué pero no encontré si era cierto o no, la única idea que tengo es reexpresar la serie para que $\ln(\ln(\frac{1}{1-x}))=-\ln(\frac{1}{1-(1-\ln(\frac{1}{1-x}))})=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{(1-\ln(\frac{1}{1-x}))^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{(1-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n})^n}{n}$ pero no parece funcionar.

Agradecería cualquier ayuda, gracias

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{P}$ denota el conjunto de todos los primos, y $f(x)=\sum_{p\in\mathcal{P}}x^p/p$ para $|x|<1$ . Como se señala en los comentarios, $f(x)$ no puede ser igual a $\ln\ln\big(1/(1-x)\big)$ simplemente porque este último tiende a $-\infty$ con $x\downarrow 0$ .

Pero el asintótica de $f(x)$ con $x\uparrow 1$ vale la pena mirar. Como ya ha señalado, $$f_n:=\sum_{p\in\mathcal{P},\ p\leqslant n}\frac{1}{p}=\ln\ln n+O(1),\qquad n\to\infty$$ por lo que debemos tener $$f(x)=(1-x)\sum_{n=2}^{\infty}f_n x^n=(1-x)\int_{u_0}^{\infty}x^u\ln\ln u\,du+O(1),\qquad x\uparrow 1$$ donde $u_0>1$ es una constante (cualquiera). Ahora dejemos que $x=e^{-t}$ y nota que $$t\int_{u_0}^{\infty}e^{-tu}\ln\ln u\,du=\int_{tu_0}^{\infty}e^{-v}\ln\ln(v/t)\,dv\\=\ln(-\ln t)\int_{tu_0}^{\infty}e^{-v}\,dv+\int_{tu_0}^{\infty}e^{-v}\ln\left(1+\frac{\ln v}{-\ln t}\right)\,dv$$ se comporta como $\ln(-\ln t)$ cuando $t\downarrow 0$ . Esto permite concluir que $$f(x)=\ln\big(-\ln(-\ln x)\big)+O(1)=\ln\ln\frac{1}{1-x}+O(1),\qquad x\uparrow 1$$