Medición de las velocidades relativas en SR

Question

Supongamos que tengo una regla galáctica que abarca desde la Tierra hasta Alfa Centauri. Con unidades marcadas, de manera que se pueda leer la distancia empezando por 0 en la tierra hasta 4 años luz en Alfa Centauri.

Ahora bien, según la relatividad, si vuelo con mi nave espacial a un 97% de la velocidad de la luz desde la Tierra hasta Alfa Centauri sólo tardaré un año. A primera vista, parecería que estoy recorriendo 4 años luz en un año, lo que contradice la idea de que no se puede viajar más rápido que la luz. Sin embargo, esto se explica por la contracción de la longitud. Así que esto significa básicamente que desde mi marco de referencia no puedo confiar en absoluto en las marcas de eclosión de la regla.

Esto me lleva a mi pregunta: ¿Cómo podría medir la velocidad relativa a la regla si no puedo confiar en estas longitudes? ¿Lo mismo ocurre con una persona en la tierra?

Ambas partes medirían la misma velocidad relativa que se puede calcular! a partir de la RS. Pero, ¿cómo la mediríamos?

El hecho de que ambas partes midan el mismo valor para la velocidad relativa, ¿es una suposición que entra en la derivación de la RS o es también una consecuencia?

Answer 1

Normalmente, la forma más fácil de medir la velocidad es con el radar Doppler. Para un observador inercial esto da la misma velocidad que se obtendría con un sistema de varillas en reposo y relojes sincronizados.

Answer 2

Envías una señal luminosa hacia delante, hacia una marca concreta de la regla gigante en un momento dado, digamos, $t_1$ segundos. En $t_2$ segundos se ve la marca iluminada por su flash de luz. Así que el viaje de ida y vuelta tomó $t_2-t_1$ . Los flashes tardan el mismo tiempo en cada tramo porque estás inmóvil, así que sabes que la marca fue $c(t_2-t_1)/2$ metros de distancia en el tiempo $(t_2+t_1)/2$ .

Esperar un tiempo corto pero arbitrario para $t_3$ , luego envía otro flash a la misma marca, y vuelve a $t_4$ . Ahora tienes una segunda medida de distancia, $c(t_4-t_3)/2$ , presumiblemente más corto que el primero ya que la marca se está moviendo hacia ti, en un momento posterior $(t_4+t_3)/2$ . El cociente de las diferencias te da la velocidad.

Answer 3

Digamos que para un observador en la tierra, en reposo con respecto a la regla, se pasa la marca $x_1$ en el momento $t_1$ y marca $x_2$ en el momento $t_2$ . Así que mide tu velocidad como ( $x_2$ - $x_1$ )/( $t_2$ - $t_1$ ).

Digamos que haces lo mismo con las mismas dos marcas. Entonces aprobarías $x_1'$ en el momento $t_1'$ y $x_2'$ y el tiempo $t_2'$ y mide tu velocidad respecto a la regla como ( $x_2'$ - $x_1'$ )/( $t_2'$ - $t_1'$ ).

Como la regla está en reposo en el marco de referencia terrestre, como dices su longitud se contrae en tu marco de referencia móvil. Entonces ( $x_2'$ - $x_1'$ ) = ( $x_2$ - $x_1$ )/ $\gamma$ . Pero también hay que tener en cuenta la dilatación del tiempo. Su medida del tiempo, ( $t_2'$ - $t_1'$ ), es un intervalo de tiempo adecuado ya que su reloj está en reposo en su marco de referencia. Así que tenemos ( $t_2'$ - $t_1'$ ) = ( $t_2$ - $t_1$ )/ $\gamma$ .

Como resultado, ( $x_2'$ - $x_1'$ )/( $t_2'$ - $t_1'$ ) será igual a ( $x_2$ - $x_1$ )/( $t_2$ - $t_1$ ) y tanto tú como el observador de la Tierra mediréis la misma velocidad relativa.

Aquí $\gamma$ es el habitual $1/\sqrt(1-v^2/c^2)$ .