¿Por qué los polinomios $x^5$ y $x^6$ en el anillo de polinomios sin término lineal no tienen el máximo común divisor?

Question

¿Por qué los polinomios $x^5$ y $x^6$ en el anillo de polinomios sin un término lineal no tienen el máximo común divisor? ¿Por qué no es $x^3$ ?

Answer 1

Sugerencia $\,\ x^2\mid x^5,x^6\ $ pero $\, x^2\nmid x^3\ $ desde $\ x^3/x^2 = x\not\in R$

Answer 2

Porque en $k[x^2, x^3]$ ambos $x^2$ y $x^3$ son divisores de $x^5$ y $x^6$ . Si $x^3$ fuera un gcd, debe ser un múltiplo de $x^2$ Lo cual no es cierto. El conjunto de divisores comunes no tiene un elemento mayor con respecto al $|$ -orden.