Evalúe

Question

Cómo evaluar %#% $ #%

¡ Estoy absolutamente despistado! Por favor me ayude.

Answer 1

Por simplicidad, todos las variables integradas que utilizo son $x$ incluso hay un montón de sustituciones. Porque un montón de variables podría hacer uno confundido.

Que $I$ denotan el valor integral. Por sustituto $x$ $\pi/2-x$, tenemos:\begin{equation} I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\cos(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\sin(x)dx \end{equation} y a continuación, tenemos:\begin{equation} I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(2\cos(\frac{x}{2})\sin(\frac{x}{2}))dx\\ =\frac{\pi}{2}\log2+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\cos(\frac{x}{2})dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\sin(\frac{x}{2})dx\\ =\frac{\pi}{2}\log2+2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\cos(x)dx+2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\sin(x)dx\\ =\frac{\pi}{2}\log2+I_1+I_2 \end{equation} en el segundo paso de la parte inferior, usar la sustitución que $x=x/2$.

$I_1$, Utilizar la sustitución que $x=\pi/2-x$ obtenemos\begin{equation} I_1=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\log\sin(x)dx \end{equation} da que $I_1+I_2=2I$. Así que tenemos\begin{equation} I=\frac{\pi}{2}\log2+2I\\ I=-\frac{\pi}{2}\log2 \end{equation}

Answer 2

$$ \int_0^{\pi/2} \ln \cos xdx =I=\int_0^{\pi/2} \ln \sen x dx. $$ Por simetría tenemos $\ln \cos x=\ln \sin x$ en el intervalo de $[0,\pi/2]$. Esto es cierto para cualquier par/impar de la función en ese intervalo de tiempo, como es un ejercicio de Demidovich-los Problemas en el Análisis. Así tenemos $$ 2I=\int_0^{\pi/2}\ln \cos x dx+ \int_0^{\pi/2} \ln \sen x dx= \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x \cos x)dx=\int_0^{\pi/2} \ln\big(\frac{1}{2}\cdot\sin(2x)\big) dx. $$ Todo lo que se utilizan se $\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)$$2\sin x \cos x=\sin(2x)$. Ahora vamos por partes la integral de copia de seguridad para obtener $$ -\int_0^{\pi/2}\ln(2)dx+\int_0^{\pi/2}\ln(\sin(2x))dx=2I. $$ Por lo tanto, podemos ahora sustituir $u=2x$ obtener $$ -\frac{\pi\ln(2)}{2}+\frac{1}{2}\int_0^\pi \ln \sin (u) du=2I $$ Pero la integral de $\ln \sin u$ es 2I, así tenemos $$ -\frac{\pi\ln(2)}{2}+I=2I, \ \{\boxed{I=-\frac{\pi \ln(2)}{2}.}} $$

Answer 3

¿Cómo viene olvidé escribir mi prueba favorita?

Tenemos una identidad conocida:

$$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{2n}{2^n}\tag{1}$ $ y $\log\sin x$ es un incorrectamente Riemann-integrable función $(0,\pi)$, se deduce que:

$$ \int_{0}^{\pi}\log\sin\theta\,d\theta = \lim_{n\to +\infty}\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log\sin\left(\frac{\pi k}{n}\right)=-\pi\log 2,\tag{2}$$ so: $$ \int_{0}^{\pi/2}\log\cos\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\log\sin\theta\,d\theta = \color{red}{-\frac{\pi}{2}\log 2}.\tag{3}$$

Answer 4

Aquí hay otra solución: como tenemos los $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\frac{e^{2ix}+1}{2e^{ix}}$ obtenemos: %#% $ #% mediante la expansión de la serie $$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(x))dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(e^{2ix}+1)dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(2)dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}} ixdx$ y calculando las integrales simples dos obtenemos: $\ln(x)$ $ cambiando la integral y la suma, la integral de la suma infinita puede ser calculado como sigue: $$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}\cdot e^{2ix(k+1)}dx-\frac{\pi}{2}\cdot \ln(2)-i\frac{\pi^2}{8}$ $ aquí utilizado, que $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}\cdot e^{2ix(k+1)}dx=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}\cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{2ix(k+1)}dx=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}\cdot \left(\frac{e^{i\pi(k+1)}-1}{2i(k+1)}\right)=\frac{i}{2}\cdot\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}\cdot \left(\frac{1-(-1)^{k+1}}{(k+1)}\right)$. Ahora, cuando $\frac{1}{i}=-i$ es irregular, la expresión después de que el sigma es igual a $k$, esto da: $0$ $ por lo tanto, $$\frac{i}{2}\cdot\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}\cdot \left(\frac{1-(-1)^{k+1}}{(k+1)}\right)=\frac{i}{2}\cdot\sum_{k=0}^\infty \frac{2\cdot(-1)^{2k}}{(2k+1)^2}=i\cdot\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=i\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2}\right)=i\cdot\frac{3}{4}\cdot\zeta(2)=i\frac{\pi^2}{8}$ puede expresarse como sigue: $I$ $

Answer 5

Aquí está una insinuación:

1. Que $\displaystyle I = \int_{x=0}^{\pi/2} \log \cos x \, dx$.
2. Al elegir un sustituto adecuado, mostrar que también tenemos $\displaystyle I = \int_{x=0}^{\pi/2} \log \sin x \, dx$.
3. Utilizando un argumento de simetría, también muestran que $\displaystyle I = \int_{x=\pi/2}^\pi \log \sin x \, dx$.
4. Añadir los resultados de (1) (2) juntos para obtener una expresión para $2I$.
5. Transformar el integrando usando propiedades de logaritmos y una identidad de ángulo doble.
6. (3) se usa para escribir el resultado de (5) en términos de $I$ en una segunda manera.
7. Resolver $I$.