Condiciones de simetría para vectores aleatorios simétricos

Question

Mientras formulaba las propiedades de un determinado modelo estadístico que estoy tratando, se me ocurrió la siguiente pregunta (con el crédito de MikeEarnest en los comentarios por la formulación adecuada). Una variable aleatoria $X$ es simétrica (respecto a cero) si $X$ y $-X$ se distribuyen de forma idéntica. Esto se aplica, en particular, al caso de una distribución aleatoria vector . La pregunta es entonces:

Supongamos que $X=(X_1,X_2,\ldots, X_n)$ es un vector aleatorio tal que $(X_{i(1)},X_{i(2)},…,X_{i(m)})$ es simétrica para cualquier $\{i(1),i(2),…,i(m)\}\subseteq \{1,2,…,n\}$ . ¿Se deduce que $X$ ¿es simétrico?

Esta afirmación es probablemente demasiado genérica, dada la falta de supuestos sobre $X$ más allá de la simetría. Si me especializo en el caso de que cada $X_k$ sólo puede tomar valores $\pm 1$ entonces entiendo que lo anterior es cierto cuando $m=1$ independientemente de $n$ . (Esto implicaría que es cierto para un $m$ ya que los subconjuntos de $\{1,2,\cdots, n\}$ de tamaño máximo $m$ incluye a los monos). Sin embargo, si paso a $X_k$ tomando valores en $\{1,0,-1\}$ entonces el caso de $m=1$ falla (ver los comentarios para un contraejemplo debido a MikeEarnest) y no sé qué se puede decir de $m>1$ .

Esto me lleva a la siguiente pregunta (ciertamente imprecisa): ¿Qué suposiciones sobre el tamaño máximo $m$ y la distribución de las variables aleatorias $\{X_k\}_{k=1}^n$ para que la afirmación anterior sea válida? También me interesaría conocer otros contraejemplos.

Answer 1

La afirmación es falsa incluso para $m=n-1$ . Existe un vector aleatorio asimétrico tal que cualquier $n-1$ las coordenadas forman un vector simétrico. Un ejemplo es $\newcommand{\b}[1]{{\bf #1}}\b X = (X_1,X_2,\dots,X_n)$ con apoyo $\{-1,0,1\}^n$ y el siguiente pmf conjunto: $$ \mathbb P\big(\b X=(x_1,x_2,\dots,x_n)\big)= \begin{cases} 3^{-n} & \text{if any }x_i=-1\\ 3^{-n}(1+(-1)^{x_1+\dots+x_n}) & \text{if all }x_i\in \{0,1\} \end{cases} $$ Se puede demostrar que cualquier sublista de $(X_1,\dots,X_n)$ es simétrica. Más concretamente, una sublista de longitud $m<n$ es uniforme en $\{-1,0,1\}^m$ . Sin embargo, $\b X$ no es simétrico, ya que $$P\big (\b X=(0,0,\dots,0,1)\big)=0\neq 3^{-n}=P\big(\b X=(0,0,\dots,0,-1)\big).$$ Por ejemplo, cuando $n=2$ la distribución conjunta es $$ \begin{array}{cc} & X_2\\ X_1 &\begin{array}{c|cc} &1&0&-1\\ \hline 1 &2/9 & 0 & 1/9\\ 0 &0 & 2/9 & 1/9\\ -1 &1/9 & 1/9 & 1/9 \end{array} \end{array} $$ mientras que ambos $X_1$ y $X_2$ son uniformes en $\{-1,0,1\}$ .

Otro ejemplo en el que $n=3$ : $$ \begin{array}{|lr|ccc|ccc|ccc|} \hline X_3& & & 1 & & &0& & &-1& &\\ \hline X_2& & 1 & 0 & -1& 1 & 0 & -1& 1 & 0 & -1\\ \hline &1 & 0&2/27 & 1/27&2/27 & 0 & 1/27&1/27 & 1/27 & 1/27\\ X_1& 0&2/27 & 0 & 1/27 & 0&2/27 & 1/27&1/27 & 1/27 & 1/27\\ &-1&1/27 & 1/27 & 1/27&1/27 & 1/27 & 1/27&1/27 & 1/27 & 1/27\\ \hline \end{array} $$