Mientras formulaba las propiedades de un determinado modelo estadístico que estoy tratando, se me ocurrió la siguiente pregunta (con el crédito de MikeEarnest en los comentarios por la formulación adecuada). Una variable aleatoria $X$ es simétrica (respecto a cero) si $X$ y $-X$ se distribuyen de forma idéntica. Esto se aplica, en particular, al caso de una distribución aleatoria vector . La pregunta es entonces:
Supongamos que $X=(X_1,X_2,\ldots, X_n)$ es un vector aleatorio tal que $(X_{i(1)},X_{i(2)},…,X_{i(m)})$ es simétrica para cualquier $\{i(1),i(2),…,i(m)\}\subseteq \{1,2,…,n\}$ . ¿Se deduce que $X$ ¿es simétrico?
Esta afirmación es probablemente demasiado genérica, dada la falta de supuestos sobre $X$ más allá de la simetría. Si me especializo en el caso de que cada $X_k$ sólo puede tomar valores $\pm 1$ entonces entiendo que lo anterior es cierto cuando $m=1$ independientemente de $n$ . (Esto implicaría que es cierto para un $m$ ya que los subconjuntos de $\{1,2,\cdots, n\}$ de tamaño máximo $m$ incluye a los monos). Sin embargo, si paso a $X_k$ tomando valores en $\{1,0,-1\}$ entonces el caso de $m=1$ falla (ver los comentarios para un contraejemplo debido a MikeEarnest) y no sé qué se puede decir de $m>1$ .
Esto me lleva a la siguiente pregunta (ciertamente imprecisa): ¿Qué suposiciones sobre el tamaño máximo $m$ y la distribución de las variables aleatorias $\{X_k\}_{k=1}^n$ para que la afirmación anterior sea válida? También me interesaría conocer otros contraejemplos.