Parece imposible reducir $34 \cdot 1973 = 259^2 + 1^2$ a $1973 = a^2 + b^2$ ¡!

Question

La pregunta ha sido formulada aquí . Conozco el método así que las pistas en los comentarios/respuestas no ayudan. ¡El problema es que el proceso se detiene a partir de un punto! Y no debe ser así porque el Procedimiento de Descenso garantiza lo contrario...

$34 \cdot 1973 = 259^2 + 1^2; \\ (21^2 + 1^2)(259^2 + 1^2)=(21 \cdot 259 +1)^2+(259-21)^2 \implies 13 \cdot 1973 = 7^2 + 160^2. $ Es bueno porque por el método debe $13 \le 34/2$ tal y como es.

$(7^2 + 4^2)(7^2 + 160^2)=(7 \cdot 7 +160 \cdot 4)^2+(160 \cdot 7-4 \cdot 7)^2 \implies 5 \cdot 1973 = 53^2 + 84^2. $ Bien de nuevo desde $5 \le 13/2$ .

$(3^2 + 4^2)(53^2 + 84^2)=(99 \cdot 5 )^2+(8 \cdot 5)^2 \implies 5 \cdot 1973 = 99^2 + 8^2.$ Y $5 \le 5/2$ no se sostiene. También de $5 \cdot 1973 = 99^2 + 8^2 \implies 5 \cdot 1973 = 53^2 + 84^2$ ¡por el método! ¡Ese famoso círculo de la desgracia aquí!

Aquí hay dos problemas:

$1.$ Siempre debe $m \le M/2$ al pasar de $M \cdot p = A^2 + B^2$ a $m \cdot p = a^2 + b^2$ . ¿Por qué no puede ser cierto en este caso aunque contradiga un teorema existente al respecto?

$2.$ Entonces, ¿cómo llegamos a $1973 = 23^2 + 38^2$ a partir de $34 \cdot 1973 = 259^2 + 1^2$ ?

Añadido - El mismo problema se produce al intentar llegar a $96493 = 258^2 + 173^2$ a partir de $10 \cdot 96493 = 261^2 + 947^2$ ¡!

Answer 1

Considere el número complejo $z = (3+5i)$

$|z| = \sqrt {34}$

Desde $1973$ es un número primo y $1973 \equiv 1 \pmod 4$

Existe un número complejo $w$ tal que $|w| = \sqrt {1973}$

y $|zw|^2 = 34\cdot 1973$

Si $zw = 1+259i$ entonces $z\bar w$ dará lugar a $a+bi$ tal que $a^2 + b^2 = 1^2 + 259^2$

dejar $w = x+iy$

$3x - 5y = 1\\ 5x + 3y = 259\\ 34x = 1298$

Puede que tengamos que juguetear con los conjugados... suponer $(3+5i)(x+iy) = 1 - 259i$

$3x - 5y = 1\\ 5x + 3y = -259\\ 34x = -1292\\ x = -38\\ y = -23$

Answer 2

Si he entendido bien la pregunta, quieres un procedimiento para escribir $1973$ como una suma de dos cuadrados utilizando los hechos de que $$ \begin{aligned} 2\cdot17\cdot1973&=259^2+1^2,\\ 17&=4^2+1^2,\\ 2&=1^2+1^2. \end{aligned} $$

Yo también enfocaría esto usando números complejos, enteros gaussianos $\Bbb{Z}[i]=\{a+bi, a,b\in\Bbb{Z}\}$ Para ser más precisos. La idea es utilizar la multiplicatividad de la función norma $N(a+bi)=a^2+b^2$ . En gran medida, el método depende del hecho de que $N$ es una norma euclidiana de $\Bbb{Z}[i]$ (Si escarbamos un poco más, resulta ser una cuestión de huevo de la gallina si la teoría de las sumas de dos cuadrados fue primero o el hecho de que $\Bbb{Z}[i]$ tiene una factorización única).

En fin, $2=(1+i)(1-i)=-i(1+i)^2$ es un factor de $(259+i)(259-i)$ por lo que esperamos que $259+i$ para ser divisible por $1+i$ . Una división compleja básica demuestra que esto es cierto: $$ \frac{259+i}{1+i}=\frac{(259+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{260-258i}2=130-129i. $$ Eso fue sin problemas, ahora sabemos que $$ 17\cdot1973=130^2+129^2. $$ Deshagámonos de eso $17$ . Es el producto $17=(4+i)(4-i)$ . Esos factores son primos de $\Bbb{Z}[i]$ porque sus normas son primos de $\Bbb{Z}$ . Una vez más, esperamos $130-129i$ sea divisible por uno de ellos. Comprobemos $$ \frac{130-129i}{4-i}=\frac{(130-129i)(4+i)}{(4-i)(4+i)}=\frac{649}{17}-\frac{386}{17}i. $$ Esto no funcionó. Así que tenemos que probar la otra prima de la norma $17$ : $$ \frac{130-129i}{4+i}=\frac{(130-129i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{391-646i}{17}=23-38i. $$

¡Así está mejor!