Encuentra todas las soluciones de este sistema de congruencias

Question

$$x \equiv 11 \pmod{84} $$ $$ x \equiv 23 \pmod{36}$$

Tengo la mayor parte del trabajo hecho para esto;
$x=11+84j$
$x=23+36k$

$\Rightarrow 11+84j \equiv 23 \pmod{36}$
$\Rightarrow 84j \equiv 12 \pmod{36}$
$\Rightarrow 12j \equiv 12 \pmod{36}$
$\Rightarrow j \equiv 1 \pmod{36}$
$\Rightarrow j = 1 + 36n$

Por tanto, este sistema es válido para cualquier $x$ de la forma $x=11+84(1+36n)=95+3024n$ .

Sin embargo, sé por haber trasteado al tratar de resolver esto que todo $x$ de este formulario no son la totalidad del $x$ que satisfacen el sistema; eso sería $x=95+252n$ .
También he observado que $252$ es el mínimo común múltiplo de $36$ y $84$ pero no sé cómo unir todo esto para dar un método concreto para encontrar todo las soluciones.

Answer 1

Lo correcto es: $\ 12j\equiv 12\pmod {36}\iff 36\mid 12(j-1)\overset{\rm cancel\ 12}\iff \color{#c00}3\mid j-1\iff \color{#0a0}{j = 1+3n}.$

Por lo tanto, $\ x = 11+84\,\color{#0a0}j = 11+84(\color{#0a0}{1+3n}) = 95 + 252n,\,$ como se ha reclamado.

Answer 2

$x \equiv 11 \pmod{84}$ Así que $x = 84k + 11$ y $x \equiv 23 \pmod{36}$ Así que $x = 36n + 23$ . Así que $84k + 11 = 36n + 23$ y $84k - 36n = 12$ . Así que $7k - 3n = 1$ . Así que $3n = 7k -1$ y $n = \frac{7k-1}{3} = 2k + \frac{k-1}{3}$ . Así, $3 | k-1$ y $k = 3t + 1$ y $n = 2(3t+1) + t = 7t +2$ . Así que $x = 36n + 23 = 36(7t + 2) + 23 = 252t + 95$ con $t \in \mathbb{Z}$

Answer 3

Encuentra todas las soluciones para x≡11 (mod 84) y x≡23 (mod 36).

x≡11 (mod 84) y x≡23 (mod 36) son equivalentes a x=11+84y y x=23+35z donde x,y,z ∈Z, respectivamente.

Aquí hay un enlace a un archivo PDF para mi solución: http://www.aespen.ca/AEnswers/1415503291.pdf .

Las siguientes imágenes se han generado a partir del archivo PDF anterior.