Esta debería ser una pregunta rápida. Estoy leyendo el libro de Topología Algebraica de Hatcher. En la página 46, en el ejemplo de calcular el grupo fundamental del complemento en $\mathbb{R^3}$ de un solo círculo, él dice que el punto dentro de $S^2$ y no en el círculo se puede alejar del círculo hacia $S^2$ o el diámetro, lo cual no entiendo. Entiendo el caso donde el punto está fuera de $S^2$ se retrae por deformación en $S^2$. ¿Alguien puede explicarme esto, por favor? ¡Gracias!
Respuesta
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Este parece ser un ejemplo donde la solución natural utiliza el grupoide fundamental en dos puntos base, y métodos de grupoide, ver los libros Topology and Groupoids (primera edición, con un nombre diferente, 1968) y Categories and Groupoids (publicado por primera vez en 1971). Ver también https://mathoverflow.net/questions/40945/compelling-evidence-that-two-basepoints-are-better-than-one
Podemos representar $\mathbb R^3\setminus S^1$ como la unión $U \cup V$ cuya intersección $W$ es el plano a través del círculo, pero sin el círculo. Entonces $U,V$ son contractibles. Dado que $W$ es la unión de dos componentes, elige puntos de base $x,y$, uno en cada componente, y sea $P=\{x,y\}.
Luego tenemos un pushout, no de los grupos habituales, sino de grupoide:
$$ \matrix{\pi_1(W,P) & \to & \pi_1(V,P) \cr \downarrow && \downarrow \cr \pi_1(V,P) & \to & \pi_1(X,P)} $$ Este es ahora una situación estándar para el álgebra de grupoide, que permite mostrar que $\pi_1(X,x)$, y también $\pi_1(X,y)$, es isomorfo a los enteros. Ver también el artículo Brouwer.
Este tipo de método también funciona para el grupo fundamental del complemento de un nudo o grafo en $\mathbb R^3$ - ver nuevamente Topology and Groupoids, sección 9.1.
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Uh.. dibuja un dibujo para ver, cada punto $x\in \mathbb R^3-S^2$ puede ser unido por un segmento recto con punto inicial x y punto terminal y (y está en el $S^1 \text {V}S^1$) [Realmente, no sé cómo explicarlo con palabras]