Demuestra que lo siguiente es un Campo

Question

Dejemos que $p$ sea un primo Sea $n$ sea un elemento de $Z_{p}^*$ donde $n\not=\pm1$ . Definir una estructura de anillo en $F = Z_p \times Z_p$ . Definimos la adición por $$ (a_1,b_1) + (a_2,b_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2). $$

Y definir la multiplicación por:

$$ (a_1,b_1) * (a_2,b_2) = (a_1 a_2 + b_1 b_2 n, a_1 b_2 + a_2 b_1). $$

Demostrar que $F$ es un campo.

Bien, entonces nuestro objetivo es mostrar que tanto $<R,+>$ es un grupo abeliano, así como $<R,*>$ es un grupo abeliano con elemento identidad no igual a 0. También queremos que se cumplan las leyes distributivas.

$Z_n\times Z_n$ es un grupo cíclico y es abeliano bajo adición. Así que es obvio. Y de la forma en que se hace la adición, nuestra adición cumple todos los requisitos de un anillo. Sobre el papel también he demostrado la comunitividad para nuestra multiplicación y la propiedad distributiva que se mantiene.

Lo que me cuesta es probar que el elemento inverso existe para la multiplicación y que es único. Sé que la unidad es (1,0) y la identidad aditiva es (0,0).

Answer 1

El mapa $(a,b) \mapsto \overline{a+bX}$ da un isomorfismo de $F$ con $(\mathbb{Z}/p) [X] / (X^2 - n)$ .

Si $n$ no es un cuadrado módulo $p$ entonces este es un campo de orden $p^2$ porque $X^2-n$ es irreducible.

Pero si $n$ es un cuadrado módulo $p$ entonces hay divisores cero: si $k^2 \equiv n\pmod{p}$ entonces $(k,1)\ast(-k,1) = (0,0)$ Así que $F$ no es un campo.

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Una forma elemental de ver eso $F$ es un campo (y, más generalmente, qué elementos tienen inversos):

Por simetría, $(a,b)$ es invertible si y sólo si $(a,-b)$ es invertible. Pero $(a,b)\ast (a,-b) = (a^2 - b^2 n,0)$ que es invertible si y sólo si $a^2 - b^2 n$ es invertible en $\mathbb{Z}/p$ .

Answer 2

En cuanto a la inversa multiplicativa: $$ (1,0) = (a_1, b_1) * (a_2, b_2) = \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 n \\ b_1 & a_1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \iff \\ \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 n \\ b_1 & a_1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) = \frac{1}{a_1^2 - b_1^2 n} \left( \begin{matrix} a_1 & -b_1 n \\ -b_1 & a_1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) = \frac{1}{a_1^2 - b_1^2 n} \left( \begin{matrix} a_1 \\ -b_1 \end{matrix} \right) $$ Esto da $$ (a_1, b_1)^{-1} = \left(\frac{a_1}{a_1^2 -b_1^2 n}, -\frac{b_1}{a_1^2 -b_1^2 n} \right) $$ para $a_1^2 \ne b_1^2 n$ . Así que dependiendo de la elección de $n$ y $p$ puede haber elementos de $F = \mathbb{Z}_p \times\mathbb{Z}_p$ que no obtienen ningún inverso de esta manera.

Si $n < 0$ entonces $a_1^2 - b_1^2 n = a_1^2 + b_1^2 (-n)$ sólo desaparece para $(a_1,b_1)=(0,0)$ que no lo necesitará.

Si $n > 0$ entonces $a_1^2 = b_1^2 n \iff a_1 = \pm b_1 \sqrt{n}$ . Por lo tanto, para los números no enteros $\sqrt{n}$ todo está bien.