Demostrar que $L_{2}^{D}$ es un espacio de producto interno.

Question

Quiero demostrar lo siguiente:

Cuál es el producto interior heredado de $l_{2}$ ¿Cómo puedo demostrar que es un espacio de producto interno?

Answer 1

Dejemos que $(x_n)_{n=1}^\infty$ , $(y_n)_{n=1}^\infty$ sean dos secuencias en $\ell^D_2$ tal que $x_n = 0$ para $n \in K$ y $y_n = 0$ para $n \in L$ , donde $K, L \subseteq \mathbb{N}$ son dos conjuntos con complementos finitos.

Entonces tenemos $x_n + y_n = 0$ para $n \in K \cap L$ cuyo complemento es finito por lo que $(x_n)_{n=1}^\infty + (y_n)_{n=1}^\infty = (x_n + y_n)_{n=1}^\infty \in \ell^D_2$ .

Del mismo modo, para $\lambda \ne 0$ tenemos $\lambda x_n = 0$ para $n \in K$ así que $\lambda(x_n)_{n=1}^\infty = (\lambda x_n)_{n=1}^\infty \in \ell^D_2$ . Para $\lambda = 0$ obviamente tenemos $\lambda(x_n)_{n=1}^\infty = 0 \in \ell^D_2$ .

Así, $\ell^D_2$ es un subespacio vectorial de $\ell_2$ .

Ahora, dejemos que $\langle\cdot, \cdot\rangle$ sea el producto interior sobre $\ell_2$ . Para demostrar que su restricción es un producto interno sobre $\ell^D_2$ Tenemos que demostrarlo:

$$\langle x,x\rangle \ge 0, \quad\forall x \in \ell^D_2$$ $$\langle x,x\rangle = 0 \implies x = 0, \quad\forall x \in \ell^D_2$$ $$\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}, \quad\forall x,y \in \ell^D_2$$ $$\langle \lambda x + \mu y,z\rangle = \lambda \langle x,z\rangle + \mu \langle y,z\rangle, \quad\forall x,y,z \in \ell^D_2, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C}$$

Pero cada una de estas propiedades ya se cumple para todos los vectores en $\ell_2$ por lo que ciertamente se cumple para todos los vectores en $\ell^D_2 \subseteq \ell_2$ .

Por lo tanto, $\langle \cdot, \cdot\rangle\Big|_{\ell^D_2}$ es un producto interno sobre $\ell^D_2$ .