Forma extremadamente estúpida de calcular el valor esperado de un dado

Question

Bien, escúchame.

Considere la variable aleatoria que es $Y_n = |X-n |$ donde $X$ es el resultado de una feria $6$ de la cara del dado y $n \in \mathbb{R} $ . Entonces, por simetría $\mathbb{E}[Y_1] = \mathbb{E}[Y_6]$ . Sin embargo, $Y_6=|X-6| = 6-X$ y $Y_1=|X-1| = X-1$

Por lo tanto, $\mathbb{E}[X-1] = \mathbb{E}[Y_1] = \mathbb{E}[Y_6] = \mathbb{E}[6-X]$ y así $2\mathbb{E}[X] = 7$ que luego da el resultado estándar. No puedo evitar pensar que esta "prueba" es circular. ¿He cometido un error en alguna parte y ya he asumido $\mathbb{E}[X] = 3.5?$

Answer 1

Efectivamente, su prueba es válida. Aquí hay una versión ligeramente simplificada:-

Por la simetría, $7-X$ tiene la misma distribución que $X$ .

$$7-X\sim X$$

Por lo tanto, tienen la misma expectativa.

$$\mathsf E(7-X)=\mathsf E(X)$$

La expectativa es una operación lineal.

$$7-\mathsf E(X)=\mathsf E(X)$$

Así que esto se puede utilizar para evaluar la expectativa de $X$ .

$$\mathsf E(X)=7/2$$

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Lo cual se reduce a: La distribución de $X$ es simétrica en torno al valor 3,5 , por lo tanto ese es el valor esperado para la variable aleatoria.

Su prueba muestra por qué esto es así, por las propiedades de la expectativa.