Función logarítmica generalizada

Question

Me preguntaba si existe una función que extienda el dominio de la siguiente función a los números reales no negativos. Para números enteros no negativos $n$ y real $y$ , $y = f(x,n)$ está dada por:

$$f(x,n) = \ln\underset{n-2}{\cdots}\ln x$$

Por ejemplo $f(x,3) = \ln \ln \ln x, f(x,0) = x$ .

Haga cualquier función bien conocida, definida en cambio para $n\in\mathbb{R}_0^+$ ¿tiene esta propiedad?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, sino algunas observaciones relacionadas con su problema. Empecemos con una configuración abstracta. Sea $f(x)$ sea una función de valor real invertible. Definir una nueva función $F(n,x)$ definido por $F(0,x)=x$ y $F(n+1,x)=f(F(n),x)$ . Desde $f$ es invertible, podemos extenderlo a los números negativos estableciendo $F(-1,x)=f^{-1}(x)$ y la iteración hacia atrás. Denotemos $F(r,x)=f^r(x)$ La cuestión es si somos capaces o no de extender esto a todos los números reales (o en su caso a los reales no negativos). Pero no queremos cualquier extensión, podríamos simplemente tomar una extensión lineal a trozos (o muchos otros tipos de extensiones de hecho). Una propiedad sensata para pedir es pedir que $f(r+s)=f^r\circ f^s$ para todos los números reales. También podemos pedir que nuestra función sea continua. Para resolver este problema en general, basta con encontrar una función para Ecuación de Schröder . Lo que es un par $(\phi,s)$ donde $\phi$ es una función de valor real invertible y $s$ es un valor no nulo (la positividad estaría bien) tal que $$\phi(f(x))=s\phi(x).$$ De ello se desprende que $f^r(x)=\phi^{-1}(s^r\phi(x))$ resuelve nuestro problema (aunque si la solución es única o no es otra cuestión). Una buena condición que hace posible la existencia es la existencia de un punto fijo. Por desgracia, el logaritmo natural no tiene un punto fijo. Véase Aquí .

Este también parece ser de interés.