Contabilidad e incontabilidad de un conjunto $A$ y el conjunto de clases de equivalencia $A / R$

Question

Dejemos que $A$ sea un conjunto y $R$ una relación de equivalencia sobre $A$ . Demostrar o refutar:

1. Si $A$ es contable, entonces todas las clases de equivalencia de $R$ son contables.
2. Si $A$ no es contable, entonces el grupo cociente $A/R$ no es contable.
3. Si $A$ no es contable y $A/R$ es contable, entonces hay una clase de equivalencia en $R$ que no es contable.

1. Bueno, se me ocurrió partir de las definiciones y decir que dos clases de equivalencia son idénticas o ajenas, además, la relación de equivalencia (es decir, transitividad, reflexividad y simetría) sólo puede sumar un número finito de elementos por lo que como máximo será contable. Así que es cierto.

2. Falso: $A=\Bbb R , \ R=mod (2)$ por lo que sólo hay dos clases de equivalencia y el grupo cociente está formado sólo por $1$ y $0$ .

3. Estoy bastante seguro de que es cierto, $A/R$ como máximo tiene la cardinalidad $\aleph_0$ y es posible tener una clase de equivalencia que esté en correspondencia uno a uno con $A$ . Pero realmente no tengo una idea de cómo probarlo.

Por favor, comparta sus ideas sobre cómo resolver esto.

Gracias.

Nota: Esto es de un curso de introducción a la teoría de conjuntos, así que probablemente no entenderé soluciones que utilicen conocimientos de álgebra abstracta, anillos o teoría de grupos.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que las clases de equivalencia $R$ son subconjuntos de $A$ . Como el tamaño de cualquier subconjunto de un conjunto contable es contable, todas las clases de equivalencia son contables.

Para la parte $3$ Supongamos que todas las clases de equivalencia son contables. El orden de una unión de conjuntos contables también es contable, por lo que el orden de $A$ (que es el orden de la unión de todas las clases de equivalencia) es contable. Esto es una contradicción, por lo que hay al menos una clase de equivalencia no contable.

Answer 2

He probado para 3. Si A no es contable y A/R es contable entonces hay una clase de equivalencia que no es contable. Tenemos ejemplo para ello es- Si A= el conjunto de los números reales La relación entre a y b es que ambos son racionales o irracionales Entonces Q/R es contable teniendo dos clases de equivalencia una de racionales y otra de irracionales. Así que aquí la clase de equivalencia de los irracionales es incontable.