Propiedades de $r^{n-1}w'+\frac{1}{2}r^nw=a$

Question

Supongamos que $r^{n-1}w'+\frac{1}{2}r^nw=a$ para alguna constante $a\in{\Bbb R}$ y $n$ es un número entero positivo. Supongamos que $$ \lim_{r\to\infty}w(r)=0,\quad \lim_{r\to\infty}w'(r)=0. $$ Entonces debemos tener $a=0$ .

Este es un paso de la derivación de la solución fundamental para el núcleo de calor en Evan Ecuaciones diferenciales parciales . No veo en absoluto por qué esto es cierto incluso en el caso $n=1$ . ¿Alguien podría aportar alguna idea?

Answer 1

Dividiendo, tienes $$w' + {rw\over 2} = {a\over r^{n-1}}.$$ Ahora introduzca el factor integrador $e^{r^2/4}$ para conseguir $$w'e^{r^2} + {rwe^{r^2/4}\over 2} = {ae^{r^2/4}\over r^{n-1}}.$$ La forma de la izquierda es exacta y tenemos $$\left({we^{r^2/4} }\right)' = {ae^{r^2/4}\over r^{n-1}}$$ Integrar, $$we^{r^2/4} - w(0) = a\int_0^r {e^{s^2/4}\, ds\over s^{n-1}} $$ Si $n\ge 2$ la integral de la derecha no se integrará finitamente, debido a su mal comportamiento en $0$ .

Si $n = 1$ , usted tiene $$w = w(0)e^{-r^2/4} + a\int_0^r e^{(r^2 - s^2)/4} ds $$

Ahora bien, ¿cuáles son las condiciones en $\infty$ ¿dice?

Answer 2

Voy a mirar el caso $n = 1.$ tenemos $$\frac{dw}{dr} + \frac12 rw = a$$ tomando el límite obtenemos $$\lim_{r \to \infty} rw = 2a.\tag 1$$

utilizando la representación integral se obtiene $$w(r) = e^{(1-r^2)/4}w(1) + a\int_1^r e^{-(r^2-s^2)/4}\, ds \tag 2$$

sabemos que $$ \int_1^r e^{-(r^2-s^2)/4}\, ds < \int_0^\infty e^{-s^2/4} ds \tag 3$$ dejando $r \to \infty$ en $(2)$ y utilizando $(3)$ muestra que $$a = 0.$$