Estoy leyendo y tratando de entender la demostración de la Proposición 5.8 en el Capítulo II de Geometría Algebraica de Hartshorne de que el pushforward de la gavilla cuasicoherente $\mathcal{F}$ por un morfismo $\phi : X \rightarrow Y$ es una gavilla cuasicoherente en $Y$ cuando $X$ es noetheriano.
El paso que me cuesta entender es el siguiente: suponemos que $Y$ es afín, ya que se trata de una pregunta local sobre $Y$ . Desde $X$ es noetheriano, puede ser cubierto por un número finito de afines abiertos $U_i$ y hay un número finito de afines abiertos $U_{ijk}$ cubriendo $U_i \cap U_j$ . Entonces, si $V \subset Y$ está abierto, una sección $s \in \phi_* \mathcal{F}(V) = \mathcal{F}( \phi^{-1}(V))$ está determinada de forma única por las secciones $s_i$ en $\mathcal{F}( \phi^{-1}(V)\cap U_i)$ que están de acuerdo en $\phi^{-1}(V)\cap U_{ijk}$ .
Entonces recibimos una inyección $\phi_* \mathcal{F}(V) \hookrightarrow \bigoplus_i \mathcal{F}|_{U_i}( \phi^{-1}(V))$ enviando $s \mapsto (s|_{\phi^{-1}(V)\cap U_i})_i$ por el axioma de identidad.
Sin embargo, también se supone que tenemos un morfismo $\bigoplus_i \mathcal{F}|_{U_i}( \phi^{-1}(V)) \rightarrow \bigoplus_{i,j,k} \mathcal{F}|_{U_{ijk}}( \phi^{-1}(V))$ con núcleo $\phi_* \mathcal{F}(V)$ . De una manera ingenua puedo ver de dónde viene esto, pero no tiene sentido para mí como un morfismo de anillos para mí. Creo que me estoy confundiendo mucho y agradecería alguna ayuda para aclarar las cosas.
