Las reglas de Bioche en la integración

Question

Mirando esta pregunta Integral indefinida $\int \frac{1}{1+\sin^4\left(x\right)}dx$ y el comentario del simpático usuario @Bernard por el uso de la sustitución

$$t=\tan x$$

En Wikipedia hay algunos ejemplos en los que es necesario utilizar el

Si $$\omega (-t)=\omega (t)$$ un buen cambio de variables es $u=\cos t$ (función uniforme).

Si $$\omega (\pi -t)=\omega (t)$$ un buen cambio de variables es $u=\sin t$ (función impar). Si $$\omega (\pi +t)=\omega (t)$$ un buen cambio de variables es $u=\tan t$ .

Si dos de las relaciones anteriores se mantienen, un buen cambio de variables es $$u=\cos 2t$$

En todos los demás casos, utilice $$u=\tan(t/2)$$

Por qué @Bernard ha utilizado $t=\tan x$ si tiene una función integrante par? ¿No debería utilizar el coseno $u=\cos t$ ?

PS: Nunca he estudiado las reglas de Bioche en la integración durante el período en la universidad.

Answer 1

Como señala Wikipedia, $\omega$ incluye el $dt$ factor, digamos $\omega=fdt$ Así que $\omega(c-t)=\omega(t)$ si $f(c-t)=-f(t)$ .