¿Cómo se deriva esta serie para la constante de Euler-Mascheroni?.

Question

Estamos familiarizados con la clásica suma de Euler constante $\gamma$:

$$ \gamma=\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln(n)\right) .$$

Pero, ¿cómo éste se deriva?:

$$ \gamma=\lim_{n\to \infty}\left(\frac12\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k(2k)!}n^{2k}-\ln(n)\right) .$$

Pensé que tal vez tenga algo que ver con los números de Bernoulli o incluso Zeta porque hay términos que aparecen en sus identidades (por ejemplo, la fórmula de $\zeta(2n)$), pero no estoy seguro.

Gracias por cualquier aporte.

Answer 1

Considere la posibilidad de $\sin^2\left(\frac{n}{2} \right)$: $$ \sin^2\left(\frac{n}{2} \right) = \frac{1-\cos(n)}{2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{2 \cdot (2k)!} n^{2k} $$ Ahora, desde la $\frac{n^{2k}}{2 k} = \int\limits_0^n t^{2k-1} \mathrm{d} t$, obtenemos: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(2k)!} \frac{n^{2k}}{2 k} = \int_0^n \frac{1-\cos(t)}{t} \mathrm{d} t $$ El último integral da, por la definición de coseno integral: $$ \int_0^n \frac{1-\cos(t)}{t} \mathrm{d} t = \gamma + \log(n) - \operatorname{Ci}(n) $$

Con el fin de obtener una idea de por qué Euler-Mascheroni constante $\gamma$ aparece aquí, considerar otra definición de coseno integral (en la que se manifiesta que el $\lim_{x \to \infty} \operatorname{Ci}(x) = 0$): $$ \operatorname{Ci}(n) = -\int_{n}^\infty \frac{\cos(t)}{t} \mathrm{d} t $$

Ambas definiciones cumplir con $\operatorname{Ci}^\prime(x) = \frac{\cos(x)}{x}$. Con el fin de establecer que la constante de integración es de hecho el de Euler-Mascheroni constante, consideramos $n=1$: $$ \begin{eqnarray} \gamma &=& \int_0^1 \frac{1 - \cos(t)}{t} \mathrm{d} t - \int_1^\infty \frac{\cos(t)}{t} \mathrm{d} t = \Re\left( \int_0^\infty \frac{[0<|t|<1]-\mathrm{e}^{i t}}{t} \mathrm{d} t \right) \\ &\stackrel{t \to i t}{=}& \Re\left( \int_0^\infty \frac{[0<|t|<1]-\mathrm{e}^{-t}}{t} \mathrm{d} t \right) \stackrel{\text{by parts}}{=} \Re\left( -\int_0^\infty \mathrm{e}^{-t} \ln(t) \mathrm{d} t \right) = \gamma \end{eqnarray} $$ La última igualdad se sigue de la definición de la constante.